TIN TỨC

Giải Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 111, 112 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn thuộc chương 2 Hình học 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

1. Tính chất của tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Trong hình trên a là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Rightarrow aperp

OH tại H (với H là tiếp điểm).

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Giải bài tập toán 9 trang 111, 112 tập 1

Bài 21 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Ta có: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25

BC2 = 52 = 25

Nên AB2 + AC2 = BC2

=> tam giác ABC vuông tại A hay AC ⊥ BA.

Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và vuông góc với bán kính BA đi qua điểm A nên AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 22 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

Đường tròn (O) tiếp xúc với d nên d là tiếp tuyến của (O) hay d vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm A. Suy ra tâm O của đường tròn nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.

Lại có (O) qua B nên tâm O của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy tâm O là giao điểm của đường vuông góc với d tại A và đường trung trực của AB.

Bài 23 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Đố. Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).

Hình 76

Gợi ý đáp án

READ  Cách đặt tên link Bitly khi rút gọn

Từ hình vẽ, đường tròn (A) và (C) nằm cùng một phía (về bên dưới) so với sợi dây nên có cùng chiều quay, còn đường tròn (B) nằm ở khác phía (bên trên).

=> đường tròn (A) và (C) quay ngược chiều với (B).

Khi dây cua-roa chuyển động, đường tròn (B) quay ngược chiều của kim đồng hồ nên đường tròn (A) và (C) có cùng chiều quay của kim đồng hồ.

Giải bài tập toán 9 trang 111, 112 tập 1: Luyện tập

Bài 24 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.

Gợi ý đáp án 

Vẽ hình minh họa:

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB, ΔAOB cân tại O (OA = OB, bán kính). OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó:

Xét đường tròn (O) có OHperp AB

tại H mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây của đường tròn nên HA=HB=dfrac{AB}2(Định lý 2 – trang 103).

Suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó CB=CA (tính chất)

Xét Delta

 CBO và DeltaCAO có:

CO chung

CA=CB (chứng minh trên)

OB=OA=R

Suy ra Delta CBO=Delta CAO

 (c.c.c)

Rightarrow widehat{CBO}=widehat{CAO} (1)

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên:

ACperp OARightarrow widehat{CAO}=90^{circ} (2)

Từ (1) và (2) suy ra widehat{CBO}=90^{circ}.

Tức là CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của (O).

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có: OA=OB=R=15;

 HA=dfrac{AB}{2}=dfrac{24}{2}=12.

Xét tam giác HOA vuông tại H, áp dụng định lí Pytago, ta có:

OA^2=OH^2+AH^2

Leftrightarrow OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}=15^{2}-12^{2}=81

Rightarrow OH=sqrt{81}=9(cm)

Xét tam giác BOC vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OB^{2}=OCcdot OH Rightarrow OC=dfrac{OB^{2}}{OH}=dfrac{15^2}{9}=25(cm).

Bài 25 (trang 112 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Gợi ý đáp án 

Vẽ hình

a) Bán kính OA vuông góc với BC nên MB = MC.

Lại có MO = MA (gt).

Suy ra tứ giác OBAC là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại có: OA ⊥ BC nên OBAC là hình thoi.

b) Ta có: OA = OB (bán kính)

OB = BA (tính chất hình thoi).

Nên OA = OB = BA => ΔAOB đều => ∠AOB = 60o

Trong tam giác OBE vuông tại B ta có:

BE = OB.tg∠AOB = OB.tg60o = R.√3

Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 111, 112 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn thuộc chương 2 Hình học 9.

READ  Soạn Sinh 9 Bài 7: Bài tập chương I | Vuidulich.vn

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

1. Tính chất của tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Trong hình trên a là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Rightarrow aperp

OH tại H (với H là tiếp điểm).

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Giải bài tập toán 9 trang 111, 112 tập 1

Bài 21 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Ta có: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25

BC2 = 52 = 25

Nên AB2 + AC2 = BC2

=> tam giác ABC vuông tại A hay AC ⊥ BA.

Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và vuông góc với bán kính BA đi qua điểm A nên AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 22 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

Đường tròn (O) tiếp xúc với d nên d là tiếp tuyến của (O) hay d vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm A. Suy ra tâm O của đường tròn nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.

Lại có (O) qua B nên tâm O của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy tâm O là giao điểm của đường vuông góc với d tại A và đường trung trực của AB.

Bài 23 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Đố. Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).

Hình 76

Gợi ý đáp án

READ  Phương án tuyển sinh Đại học kinh tế quốc dân 2021 Tuyển sinh Đại học kinh tế quốc dân 2021 - Hoatieu xin chia sẻ đến các bạn phương án tuyển sinh Đại học kinh tế quốc dân 2021 mới nhất, mời các bạn cùng tham khảo. 14:22 22/03

Từ hình vẽ, đường tròn (A) và (C) nằm cùng một phía (về bên dưới) so với sợi dây nên có cùng chiều quay, còn đường tròn (B) nằm ở khác phía (bên trên).

=> đường tròn (A) và (C) quay ngược chiều với (B).

Khi dây cua-roa chuyển động, đường tròn (B) quay ngược chiều của kim đồng hồ nên đường tròn (A) và (C) có cùng chiều quay của kim đồng hồ.

Giải bài tập toán 9 trang 111, 112 tập 1: Luyện tập

Bài 24 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.

Gợi ý đáp án 

Vẽ hình minh họa:

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB, ΔAOB cân tại O (OA = OB, bán kính). OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó:

Xét đường tròn (O) có OHperp AB

tại H mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây của đường tròn nên HA=HB=dfrac{AB}2(Định lý 2 – trang 103).

Suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó CB=CA (tính chất)

Xét Delta

 CBO và DeltaCAO có:

CO chung

CA=CB (chứng minh trên)

OB=OA=R

Suy ra Delta CBO=Delta CAO

 (c.c.c)

Rightarrow widehat{CBO}=widehat{CAO} (1)

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên:

ACperp OARightarrow widehat{CAO}=90^{circ} (2)

Từ (1) và (2) suy ra widehat{CBO}=90^{circ}.

Tức là CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của (O).

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có: OA=OB=R=15;

 HA=dfrac{AB}{2}=dfrac{24}{2}=12.

Xét tam giác HOA vuông tại H, áp dụng định lí Pytago, ta có:

OA^2=OH^2+AH^2

Leftrightarrow OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}=15^{2}-12^{2}=81

Rightarrow OH=sqrt{81}=9(cm)

Xét tam giác BOC vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OB^{2}=OCcdot OH Rightarrow OC=dfrac{OB^{2}}{OH}=dfrac{15^2}{9}=25(cm).

Bài 25 (trang 112 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Gợi ý đáp án 

Vẽ hình

a) Bán kính OA vuông góc với BC nên MB = MC.

Lại có MO = MA (gt).

Suy ra tứ giác OBAC là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại có: OA ⊥ BC nên OBAC là hình thoi.

b) Ta có: OA = OB (bán kính)

OB = BA (tính chất hình thoi).

Nên OA = OB = BA => ΔAOB đều => ∠AOB = 60o

Trong tam giác OBE vuông tại B ta có:

BE = OB.tg∠AOB = OB.tg60o = R.√3

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: TIN TỨC

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button