TÌM HIỂU VỀ NHỊ THỨC NEWTON

Or you want a quick look:

Định nghĩa về nhị thức newtonNhị thức NewtonKhai triển ( a + b)n được cho bởi công thức sau:Với a, b là các số thức và n là số nguyên dương, ta có:Quy ước a0 = b0 = 1Hệ quả:Tính chất của công thức nhị thức NewtonTính chất của công thức nhị thức NewtonSố các số hạng của công thức là n + 1Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:( n – k) + k = nSố hạng tổng quát của nhị thức là:Tk+1 = Cnk an-k bk ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b)n )Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhauMột số kiến thức liên quanCông thức khai triển nhị thức newton:Công thức số tổ hợpTính chất lũy thừaCách giải bài toán tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức NewtonBước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát:Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhauSố hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = mTừ đó tìm: k = ( m – np) / ( p – q)Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: Cnk an-k bk với giá trị k đã tìm được ở trênNếu k không gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triểnP(x) = ( a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n  Ta làm như sau:Viết P (x) = ( a + bxp + cxq)nViết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bxp + cxqThành một đa thức theo lũy thừa của xTừ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xmChú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newtonTa làm như sau:Tính hệ số ak theo k và nGiải bất phương trình sau với ẩn số kHệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trênVí dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển ( 2 – 3x)25GiảiSố hạng thứ 21 trong khai triển là:C2025. 25 ( -3x)20 = 25. 320. C2025. X20Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong khai triển (3x2 –y)10Giải:Trong khai triển (3x2 –y)10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -35 .C510Ví dụ 3: Tìm hệ số của x3 , (x >0) trong khai triển sau:Giải:Số hạng tổng quát trong khai triển trên là: Tk + 1 = Ck6 .x6-k. 2k. x(-k/2)Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 – k – ( k /2) = 3 => k = 3Khi đó hệ số của x3 là: C36.23 = 160Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.Tìm hệ số  xk trong khai triển nhị thức newtonPhương pháp chung:Sử dụng công thức khai triển nhị thức newtonTìm số hạng có chứa xk và tìm hệ số tương ứngVí dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( 2 + x)5Giải:Ta cóCho k = 3 ta được hệ số của x3 là: C35. 25-3 = 40Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thứcPhương pháp giảiSử dụng khai triển:(a + b)n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bnSuy ra điều phải chứng minhBằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợpPhương pháp giải các bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợpChọ một khai triển ( a+ x)n phù hợp, ở đây a là hằng sốSử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phânDựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thểBài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợpVí dụ: Giải bất phương trình sau: ( A22x – A2x < = ( 6/ x). C3x + 10Giải:Điều kiện: x phải là một số nguyên dương và x > = 3Ta có bất phương trình đã cho tương đương với:Vì x là nghiệm nguyên dương và x > = 3 nên x thuộc {3 ; 4}Bài tập 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau:Giải:Công thức khai triển của biểu thức là:Để số hạng chứa x5 vậy k = 2 và n = 3Vậy hệ số của x5 là C211 + C37 = 90Bài tập 2: Tính B = 2n C0n – 2n-1 C1n + 2n-2 C2n + … + (-1)k 2n-k Ckn + … + (-1)2 CnnGiải:Bài tập 3: Tính C = C610 + C710 + C810 + C910 + C1010Giải:Bài tập 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:x( 1- 2x)5 + x2 (1 + 3x)10Bài tập 5: Với n là số nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của ( x2 + 1)n ( x + 2)n. Tìm n để a3n – 3 = 26nBài tập 6: Tính tổng S = C02013 + 3 C12013 + 32 C22013 + … + 32013 C20132013Bài tập 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển biểu thức:Bài tập 8: Tìm ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển ( 1 + 2x)10Bài tập 9: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P (x) = ( x+1)6 + ( x+1)7 + … +  ( x+1)12Bài tập 10: Tìm hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển ( 2a – b)5