Phương trình lượng giác và Công thức nghiệm phương trình lượng giác – Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

• Bất phương trình lượng giác chứa tham số

• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng đã cho bằng Máy tính

• Phương trình lượng giác có nghiệm thuộc khoảng

• Trắc nghiệm phương trình lượng giác chứa tham số

 

                                    Phương trình lượng giác

https://www.youtube.com/watch?v=37AZs-uQRuc

Nội dung chính bài viết

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

I. Phương pháp Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x ∈ D Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x ∈ D Tìm m để phương trình có nghiệm Cách 1: Phương pháp đạo hàm

• Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
• Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
• Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
• Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền D1
• Bước 5: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m

Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai ( áp dụng khi đưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc hai )

• Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
• Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D .Gọi miền giá trị của t là D1
• Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = at2 + bt + c = 0
• Bước 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f(m,t) có nghiệm t ∈ U
• Bước 5: Kết luận

READ  Nđ-Cp Là Gì ? Cơ Quan Ban Hành Nghị Định? Nghị Định Là Gì vuidulich.vn

II. Bài tập vận dụng Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈(0; π/4) m.cos2(x) – 4sin(x).cos(x) + m – 2 = 0 (1)

Giải​

Với x ∈(0; π/4) → cos(x) ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 ≠ 0 ta được m−4tanx+(m−2)(1+tan2x)=⇔(m−2)tan2x−4tanx+2m−2=(2) Đặt t = tan(x) vì x ∈(0; π/4) nên t ∈(0;1) ta được (m−2)t2−4t+2m−2=(3) Khi đó (1) có nghiệm x ∈(0; π/4) khi và chỉ khi (3) có nghiệm t ∈(0;1) Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: +) Với m – 2 = 0 ⇔ m = 2 khi đó (3) có dạng −4t+2=⇔t=12∈(;1) Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài +)Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 khi đó (3) có nghiệm t ∈(0;1) ⇔ (3) có 1 nghiệm ∈(0;1) hoặc (3) có 2 nghiệm ∈(0;1) ⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢f(1).f(2)<⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Δ′≥af(1)>af()><S2<1⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢(3m−8)(2m−2)<⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−2m2+6m≥(3m−8)(m−2)>(m−2)(2m−2)><2m−2<1⇔1<m<83 Vậy với 1 < m < 8/3 phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4) Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng : 2t2+4t+2t2+2=m Phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4) ⇔ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y=2t2+4t+2t2+2 trên (0; 1) Xét hàm số (C) y=2t2+4t+2t2+2trên (0; 1) Đạo hàm y′=−4t2+4t+8(t2+2)2=−4(t+1)(t−2)(t2+2)2>∀t∈(;1) tức là hàm số đồng biến trên (0; 1) Do đó đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số(C) trên khoảng (0; 1) → y(0) < m < y(1) ↔ 1 < m < 8/3 Vậy với 1 < m < 8/3 phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4(sin4x+cos4x)−4(sin6x+cos6x)−sin24x=m (1)

Giải​

Ta đã có: sin6x+cos6x=1−34sin22xsin4x+cos4x=1−12sin22xsin24x=4sin22x−4sin42x Do đó phương trình được biến đổi về dạng 4(1−34sin24x)−4(1−12sin22x)−(4sin22x−4sin42x)=m⇔4sin42x−3sin22x=m Đặt t=sin2x≤t≤1Khi đó phương trình có dạng 4t2−3t=m (2) Cách 1: phương trình (1) có nghiệm ↔ (2) có nghiệm ∈[;1] ↔(2) có 1 nghiệm hoặc (2) có 2 nghiệm ∈[;1] ⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢f().f(1)≤⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Δ′≥af()≥af(1)≥≤S2≤1⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−m(1−m)≤9+16m≥−m≥1−m≥≤38≤1⇔[≤m≤1−916≤m≤⇔−916≤m≤1 Vậy với −916≤m≤1 thì phương trình trên có nghiệm Cách 2: Phương trình (1) có nghiệm ↔ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y=4t2−3t trên đoạn [0; 1] Xét hàm số y=4t2−3t trên đoạn [0; 1] Đạo hàm y′=8t−3,y′=⇔t=38 Bảng biến thiên

READ  'Ngôi sao sáng trong vũ trụ học' Stephen Hawking là ai?

Dựa vào bảng biến thiên ta được điều kiện −916≤m≤1 Vậy với −916≤m≤1 thì phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Cho phương trình cos2x=m1+tanx−−−−−−−−√cos2x (1) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0; π/3]

Giải​

Điều kiện {cosx≠tanx≥−1(∗) Đặt t = tan(x) thì cos2x=1−t21+t2 và cos2x=11+t2 Khi đó phương trình có dạng 1−t21+t2=m1+t−−−−√11+t2⇔1−t2=m1+t−−−−√ Vì x∈[;π3] suy ra t∈[;3–√] Do 1 + t > 0 nên phương trình được viết lại dưới dạng (1−t)1+t−−−−√=m Để phương trình (1) có nghiệm x∈[;π3] thì phương trình (3) có nghiệm t∈[;3–√] , suy ra đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y=(1−t)1+t−−−−√trên đoạn [;3–√] Xét hàm số y=(1−t)1+t−−−−√ trên D = [;3–√] Đạo hàm y′=−1+t−−−−√+1−t21+t√=−2(1+t)+1−t21+t√=−3t−121+t√<∀t∈D → Hàm số nghịch biến Do đó điều kiện là f(3–√)≤m≤f()⇔(1−3–√)1+3–√−−−−−−√≤m≤1 Vậy với (1−3–√)1+3–√−−−−−−√≤m≤1 thoả mãn điều kiện đề bài Nhận xét: Với những bài toán dạng này chúng ta cần phải nhớ rằng khi đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ rồi từ đó ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu.

Các dạng phương trình lượng giác

Phương trình sinx = m

Nếu (left | m right |)>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu (left | m right |) (leq) 1 thì chọn 1 góc (alpha) sao cho (sin alpha = m).

Khi đó nghiệm của phương trình là (left{begin{matrix} x = alpha + k2pi & x = pi – alpha +k2pi & end{matrix}right.) với (k epsilon mathbb{Z})

Phương trình cosx = m

Nếu (left | m right |)>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu (left | m right |) (leq) 1 thì chọn 1 góc (alpha) sao cho (cos alpha = m) .

Khi đó nghiệm của phương trình là (left{begin{matrix} x = alpha + k2pi & x = – alpha + k2pi & end{matrix}right.) với (k epsilon mathbb{Z})

Phương trình tanx = m

Chọn góc (alpha) sao cho (tan alpha = m).

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

(tan x = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi (k epsilon mathbb{Z}))

Hoặc (tan x = m Leftrightarrow m – arctan m + kpi) (m bất kỳ)

Chú ý: (tan x = 0 Leftrightarrow x = kpi), (tan x) không xác định khi (x = frac{pi }{2} + kpi)

Phương trình cot(x) = m

Chọn góc (alpha) sao cho (csc alpha = m).

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

(csc x = csc alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi (kepsilon mathbb{Z})) Hoặc (cot x = m Leftrightarrow m = textrm{arccsc}m + kpi) (m bất kỳ)

Chú ý: (csc x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi),

(csc x) không xác định khi (x = kpi)

Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:

Phương trình lượng giác chứa tham số

Phương trình lượng giác chứa tham số dạng (asin x + b cos x = c) có nghiệm khi và chỉ khi (a^{2} + b^{2} geq c^{2})

Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:

• Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
• Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm

Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản

• Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
• Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Ví dụ: Xác định m để phương trình ((m^{2} – 3m + 2)cos ^{2}x = m(m-1)) (1) có nghiệm.

Cách giải

((1)Leftrightarrow (m-1)(m-2)cos ^{2}x = m (m-1)) (1’)

Khi m = 1: (1) luôn đúng với mọi (xepsilon mathbb{R})

Khi m = 2: (1) vô nghiệm

Khi (mneq 1; mneq 2) thì:

(1’) (Leftrightarrow (m-2)cos ^{2}x = m Leftrightarrow cos ^{2}x = frac{m}{m-2})  (2)

Khi đó (2) có nghiệm (Leftrightarrow 0leq frac{m}{m-2}leq 1Leftrightarrow mleq 0)

Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, (mleq 0)

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát

Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g(x,m) = 0 (1). Xác định m để phương trình (1) có nghiệm (xepsilon D)

Phương pháp:

• Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
• Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
• Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
• Tính f’(m, t) và lập bảng biến thiên trên miền D1
• Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.COM.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^