Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức cơ bản làm cơ sở cho các bài học về nhân chia đơn thức. Trong bài viết dưới đây Mobitool sẽ giới thiệu đến các bạn 6 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hướng dẫn phương pháp giải và các bài luyện tập chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng với tài liệu này sẽ giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu ôn tập giải toán lớp 8 để củng cố và nâng cao các kiến thức đã học. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

II. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A₁ + C.B₁ = C(A₁ + B₁)

Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.

a. 20x – 5y

b) 4x²y – 8xy²+ 10x²y²

c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1)

d. 20x²y – 12x³

e. x(x + y) – 6x – 6y

g. 8x⁴+ 12x²y⁴ – 16x³y⁴

h. 6x³– 9x²

i. 4xy² + 8xyz

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a. 3x(x +1) – 5y(x + 1)

b. 3x³(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)²

c. 3x(x – 6) – 2(x – 6)

d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2)

đ. 4y(x – 1) – (1 – x)

e. 18x²(3 + x) + 3(x + 3)

g. (x – 3)³+ 3 – x

h.  14x²y – 21xy² + 28x²y²

i. 7x(x – y) – (y – x)

k.  10x(x – y) – 8y(y – x)

Bài toán 3 : Tìm x biết.

a. 4x(x + 1) = 8(x + 1)

b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0

c. 2x(x – 2) – (2 – x)²= 0

d. (x – 3)³+ 3 – x = 0

e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0

g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

h) x²– 4x = 0

k) (1 – x)² – 1 + x = 0

m) x + 6x² = 0

n) (x + 1) = (x + 1)²

Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 4x²– 1

b) 25x²– 0,09

c) 9x² –

d) (x – y)²– 4

e) 9 – (x – y)²

f) (x² + 4)² – 16x²

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴– y⁴

b) x² – 3y²

c) (3x – 2y)² – (2x – 3y)²

d) 9(x – y)²– 4(x + y)²

e) (4x² – 4x + 1) – (x + 1)²

f) x³+ 27

g) 27x³– 0,001

h) 125x³ – 1

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x⁴+ 2x² + 1

b) 4x² – 12xy + 9y²

c) -x²– 2xy – y²

d) (x + y)² – 2(x + y) + 1

e) x³– 3x²+ 3x – 1

g) x³ + 6x² + 12x + 8

h) x³+ 1 – x² – x

k) (x + y)³ – x³ – y³

Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x²– x – y² – y

b) x² – 2xy + y² – z²

c) 5x – 5y + ax – ay

d) a³– a²x – ay + xy

e) 4x²– y²+ 4x + 1

f) x³ – x + y³ – y

Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²– y² – 2x + 2y

b) 2x + 2y – x² – xy

c) 3a²– 6ab + 3b² – 12c²

d) x² – 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² – ac – bc

f) x² – 2x – 4y² – 4y

g) x²y – x³– 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Phương pháp:

Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

hoặc:

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.

Ví dụ :

a) y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 – 16y²

= (y² + 8)² – (4y)²

= (y² + 8 – 4y)(y² + 8 + 4y)

Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x⁴+ 16

b) x⁴y⁴ + 64

c) x⁴y⁴ + 4

d) 4x⁴y⁴+ 1

e) x⁴+ 1 f) x⁸ + x + 1

g) x⁸ + x⁷+ 1

h) x⁸+ 3x⁴ + 1

k) x⁴ + 4y⁴

Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :

a) a²– b² – 2x(a – b)

b) a² – b² – 2x(a + b)

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴y⁴+ 4

b) 4x⁴ + 1

c) 64x⁴ + 1

d) x⁴ + 64

Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 16x⁴(x – y) – x + y

b) 2x³y – 2xy³– 4xy²– 2xy

c) x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 4x – 4y + x²– 2xy + y²

b) x⁴ – 4x³ – 8x² + 8x

c) x³+ x²– 4x – 4

d) x⁴ – x² + 2x – 1

e) x⁴+ x³+ x² + 1

f) x³ – 4x² + 4x – 1

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x³+ x²y – xy² – y³

b) x²y² + 1 – x² – y²

c) x²– y²– 4x + 4y

d) x² – y² – 2x – 2y

e) x²– y²– 2x – 2y

f) x³ – y³ – 3x + 3y

Bài toán 5 : Tìm x, biết.

a)x³– x² – x + 1 = 0

b) (2x³ – 3)² – (4x² – 9) = 0

c) x⁴+ 2x³– 6x – 9 = 0

d) 2(x + 5) – x² – 5x = 0

Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a. A = x²– x + 1

b. B = 4x²+ y² – 4x – 2y + 3

c. C = x²+ x + 1

d) D = x² + y² – 4(x + y) + 16

e) E = x² + 5x + 8

g) G = 2x² + 8x + 9

Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a. A = -4x²– 12x

b) B = 3 – 4x – x²

c) C = x² + 2y²+ 2xy – 2y

d) D = 2x – 2 – 3x²

e) E = 7 – x²– y²– 2(x + y)

II. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x²– 21xy²+ 28x²y² = 7x(2x – 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x²+ 4x – y²+ 4 = (x + 2)² – y² = (x + 2 – y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x₁ = –3: x₂ = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x³+ 4x² – y³ – y² = (8x³ – y³) + (4x² – y²)

b) x²+ 5x –6 = x² + 6x – x – 6

= x(x + 6) – (x + 6)

= (x + 6)(x – 1)

c. a⁴ + 16 = a⁴+ 8a² + 16 – 8a²

= (a² + 4)² – (a)²

= (a² + 4 +a)( a² + 4 – a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵+ x³+ x² + 1):(x³ + 1)

b) (x²–5x + 6):(x – 3)

Giải:

a) Vì x⁵+ x³+ x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

nên (x⁵ + x³ + x² + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)

b)Vì x² – 5x + 6

= x² – 3x – 2x + 6

= x(x – 3) – 2(x – 3)

= (x – 3)(x – 2)

nên (x² – 5x + 6):(x – 3)

= (x – 3)(x – 2): (x – 3)

= (x – 2)

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức cơ bản làm cơ sở cho các bài học về nhân chia đơn thức. Trong bài viết dưới đây Mobitool sẽ giới thiệu đến các bạn 6 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hướng dẫn phương pháp giải và các bài luyện tập chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng với tài liệu này sẽ giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu ôn tập giải toán lớp 8 để củng cố và nâng cao các kiến thức đã học. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

II. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A₁ + C.B₁ = C(A₁ + B₁)

Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.

a. 20x – 5y

b) 4x²y – 8xy²+ 10x²y²

c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1)

d. 20x²y – 12x³

e. x(x + y) – 6x – 6y

g. 8x⁴+ 12x²y⁴ – 16x³y⁴

h. 6x³– 9x²

i. 4xy² + 8xyz

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a. 3x(x +1) – 5y(x + 1)

b. 3x³(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)²

c. 3x(x – 6) – 2(x – 6)

d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2)

đ. 4y(x – 1) – (1 – x)

e. 18x²(3 + x) + 3(x + 3)

g. (x – 3)³+ 3 – x

h.  14x²y – 21xy² + 28x²y²

i. 7x(x – y) – (y – x)

k.  10x(x – y) – 8y(y – x)

Bài toán 3 : Tìm x biết.

a. 4x(x + 1) = 8(x + 1)

b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0

c. 2x(x – 2) – (2 – x)²= 0

d. (x – 3)³+ 3 – x = 0

e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0

g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

h) x²– 4x = 0

k) (1 – x)² – 1 + x = 0

m) x + 6x² = 0

n) (x + 1) = (x + 1)²

Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 4x²– 1

b) 25x²– 0,09

c) 9x² –

d) (x – y)²– 4

e) 9 – (x – y)²

f) (x² + 4)² – 16x²

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴– y⁴

b) x² – 3y²

c) (3x – 2y)² – (2x – 3y)²

d) 9(x – y)²– 4(x + y)²

e) (4x² – 4x + 1) – (x + 1)²

f) x³+ 27

g) 27x³– 0,001

h) 125x³ – 1

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x⁴+ 2x² + 1

b) 4x² – 12xy + 9y²

c) -x²– 2xy – y²

d) (x + y)² – 2(x + y) + 1

e) x³– 3x²+ 3x – 1

g) x³ + 6x² + 12x + 8

h) x³+ 1 – x² – x

k) (x + y)³ – x³ – y³

Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x²– x – y² – y

b) x² – 2xy + y² – z²

c) 5x – 5y + ax – ay

d) a³– a²x – ay + xy

e) 4x²– y²+ 4x + 1

f) x³ – x + y³ – y

Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²– y² – 2x + 2y

b) 2x + 2y – x² – xy

c) 3a²– 6ab + 3b² – 12c²

d) x² – 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² – ac – bc

f) x² – 2x – 4y² – 4y

g) x²y – x³– 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Phương pháp:

Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

hoặc:

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.

Ví dụ :

a) y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 – 16y²

= (y² + 8)² – (4y)²

= (y² + 8 – 4y)(y² + 8 + 4y)

Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x⁴+ 16

b) x⁴y⁴ + 64

c) x⁴y⁴ + 4

d) 4x⁴y⁴+ 1

e) x⁴+ 1 f) x⁸ + x + 1

g) x⁸ + x⁷+ 1

h) x⁸+ 3x⁴ + 1

k) x⁴ + 4y⁴

Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :

a) a²– b² – 2x(a – b)

b) a² – b² – 2x(a + b)

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴y⁴+ 4

b) 4x⁴ + 1

c) 64x⁴ + 1

d) x⁴ + 64

Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 16x⁴(x – y) – x + y

b) 2x³y – 2xy³– 4xy²– 2xy

c) x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 4x – 4y + x²– 2xy + y²

b) x⁴ – 4x³ – 8x² + 8x

c) x³+ x²– 4x – 4

d) x⁴ – x² + 2x – 1

e) x⁴+ x³+ x² + 1

f) x³ – 4x² + 4x – 1

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x³+ x²y – xy² – y³

b) x²y² + 1 – x² – y²

c) x²– y²– 4x + 4y

d) x² – y² – 2x – 2y

e) x²– y²– 2x – 2y

f) x³ – y³ – 3x + 3y

Bài toán 5 : Tìm x, biết.

a)x³– x² – x + 1 = 0

b) (2x³ – 3)² – (4x² – 9) = 0

c) x⁴+ 2x³– 6x – 9 = 0

d) 2(x + 5) – x² – 5x = 0

Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a. A = x²– x + 1

b. B = 4x²+ y² – 4x – 2y + 3

c. C = x²+ x + 1

d) D = x² + y² – 4(x + y) + 16

e) E = x² + 5x + 8

g) G = 2x² + 8x + 9

Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a. A = -4x²– 12x

b) B = 3 – 4x – x²

c) C = x² + 2y²+ 2xy – 2y

d) D = 2x – 2 – 3x²

e) E = 7 – x²– y²– 2(x + y)

II. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x²– 21xy²+ 28x²y² = 7x(2x – 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x²+ 4x – y²+ 4 = (x + 2)² – y² = (x + 2 – y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x₁ = –3: x₂ = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x³+ 4x² – y³ – y² = (8x³ – y³) + (4x² – y²)

b) x²+ 5x –6 = x² + 6x – x – 6

= x(x + 6) – (x + 6)

= (x + 6)(x – 1)

c. a⁴ + 16 = a⁴+ 8a² + 16 – 8a²

= (a² + 4)² – (a)²

= (a² + 4 +a)( a² + 4 – a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵+ x³+ x² + 1):(x³ + 1)

b) (x²–5x + 6):(x – 3)

Giải:

a) Vì x⁵+ x³+ x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

nên (x⁵ + x³ + x² + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)

b)Vì x² – 5x + 6

= x² – 3x – 2x + 6

= x(x – 3) – 2(x – 3)

= (x – 3)(x – 2)

nên (x² – 5x + 6):(x – 3)

= (x – 3)(x – 2): (x – 3)

= (x – 2)