Tích vô hướng của hai vectơ là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy tích vô hướng của hai vectơ là gì? Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng của 2 vectơ như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về chủ đề tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 qua bài viết dưới đây nhé!
Nội dung chính bài viết
Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ
Tích vô hướng của 2 vectơ (vec{a}) và (vec{b}) là một số, kí hiệu là (vec{a}.vec{b}), được xác định bởi công thức (vec{a}.vec{b} = left | vec{a} right |.left | vec{b} right |.cos(vec{a},vec{b})) (1)
Lưu ý về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10
Với (vec{a}) và (vec{b}) khác (vec0}), ta có:
(vec{a}.vec{b} = 0 Leftrightarrow vec{a}perp vec{b})
Hai vectơ (khác vectơ không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
Khái niệm bình phương vô hướng là gì?
Khi (vec{a} = vec{b}) thì công thức (1) trở thành:
(vec{a}.vec{a} = left | vec{a} right |.left | vec{a} right |.cos0^{circ} = left | vec{a} right |^2)
Người ta ký hiệu tích vô hướng (vec{a}.vec{a}) là ((vec{a})^2) hay đơn giản là (vec{a}^2) và gọi là bình phương vô hướng của vectơ (vec{a}).
Như vậy, ta có:
(vec{a}^2 = left | vec{a} right |.left | vec{a} right |.cos0^{circ} = left | vec{a} right |^2)
Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
Những tính chất của tích vô hướng
Với hai số thực a và b, ta có ab = ba; a(b + c) = ab + ac. Vậy với hai vecto (vec{a}) và (vec{b}), ta có các tính chất tương tự.
Với ba vecto (vec{a}, vec{b}, vec{c}) tùy ý và mọi số thực k, ta có:
(vec{a}.vec{b} = vec{b}.vec{a}) (Tính chất giao hoán)
((kvec{a}).vec{b} = vec{a}.(kvec{b}) = k(vec{a}.vec{b}))
(vec{a}.(vec{b} + vec{c}) = vec{a}.vec{b} + vec{a}.vec{c}) (Tính chất phân phối đối với phép cộng)
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng tọa độ ((O;vec{i},vec{j})), cho hai vectơ (vec{a} = (a_{1}, a_{2}),, vec{b} = (b_{1}, b_{2})).
Khi đó, ta có công thức:
(vec{a}.vec{b} = a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2})
Nhận xét:
hai vectơ (vec{a} = (a_{1}.a_{2})) và (vec{b} = (b_{1}.b_{2})) khác vectơ (vec{0}) vuông góc với nhau khi và chỉ khi (a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2} = 0)
(vec{a}perp vec{b} Leftrightarrow a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2} = 0)
Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ
Từ biểu thức tọa độ của tích vô hướng, suy ra một số hệ thức quan trọng sau, cho phép tính được: độ dài và góc của hai vectơ khi biết tọa độ của chúng và tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của hai điểm đó.
Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ (vec{a} = (a_{1};a_{2})) được tính theo công thức
(left | vec{a} right | = sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2})
Góc giữa hai vectơ
Với hai vectơ (vec{a} = (a_{1};a_{2})) và (vec{b} = (b_{1};b_{2})) khác (vec{0}), từ định nghĩa của tích vô hướng và hệ thức độ dài trên, ta suy ra góc giữa hai vectơ được xác định bởi hệ thức sau:
(cos(vec{a},vec{b}) = frac{vec{a}.vec{b}}{left | vec{a} right |.left | vec{b} right |} = frac{a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2}}{sqrt{a_1^2 + a_2^2}.sqrt{b_1^2 + b_2^2}})
Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm (A(x_{A}; y_{A}), B(x_{B};y_{B})) được tính theo công thức sau:
(AB = sqrt{(x_{B} – x_{A})^2 + (y_{B} – y_{A})^2})
Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ và cách giải
Dạng 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ
Dựa vào định nghĩa (vec{a}.vec{b} = left | vec{a} right |.left | vec{b} right |.cos(vec{a};vec{b}))
Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của 2 vectơ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a. Tính tích vô hướng (vec{BA}.vec{BC}
Cách giải:
Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:[latex]vec{BA}.vec{BC} = left | vec{BA} right |.left | vec{BC} right |cosvec{BA};vec{BC} = 2a^2cosvec{BA},vec{BC})
Mặt khác (cosvec{BA},vec{BC} = cosABC = frac{a}{2a} = frac{1}{2})
Nên (vec{BA}.vec{BC} = a^2)
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng
Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển vế vectơ nhờ đẳng thức (AB^2 = vec{AB}^2)
Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ
Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng
Ví dụ 2: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng (vec{MA}.vec{MB} = IM^2 – IA^2)
Cách giải:
Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là (vec{MA}.vec{MB} = vec{IM^2} – vec{IA^2})
Để làm xuất hiện (vec{IA},vec{IM}) ở vế phải, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được:
(VT = vec{MI} + vec{IA}.vec{MI} + vec{IB} = vec{MI} + vec{IA}. vec{MI} – vec{IA} = vec{IM}^2 – vec{IA}^2 = VP) (đpcm)
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề tích vô hướng của 2 vectơ. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm >>> Vecto chỉ phương của đường thẳng là gì? Phương trình tham số của một đường thẳng
