Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 8 và Toán 9. Vậy phân tích đa thức thành nhân tử là gì? Cách giải toán phân tích đa thức để thành nhân tử lớp 8 và lớp 9? Ứng dụng của phân tích đa thức để thành nhân tử ?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!
Nội dung chính bài viết
Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
Đa thức theo định nghĩa là một biểu thức được viết dưới dạng tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức sẽ là tích của một số thuộc (mathbb{R}) với lũy thừa tự nhiên của biến số.
Hiểu theo cách khác thì phân tích đa thức để thành nhân tử là viết một đa thức dưới dạng tích của các đa thức con. Mỗi đa thức con như vậy sẽ được gọi là một nhân tử
Ví dụ:
( x^2-3x-10 =(x-5)(x+2) )
Ở biểu thức trên thì:
- ( x^2-3x-10 ) là đa thức cần phân tích nhân tử
- ( (x-5)(x+2) ) là kết quả phân tích thành nhân tử của đa thức đó
- ( (x-5) ) và ( (x+2) ) là các nhân tử
Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8
Phương pháp đặt nhân tử chung
Bài toán: Phân tích đa thức ( A(x) +B(x) ) thành nhân tử
Các bước làm:
- Bước 1: Biến đổi (A(x) = C(x).A_1(x)) ; (B(x) = C(x).B_1(x))
- Bước 2: Khi đó ta có : (A(x)+B(x)= C(x)[A_1(x)+B_1(x)])
Ví dụ:
Phân tích đa thức để thành nhân tử: (x^2-4 + frac{x+2}{3} )
Cách giải:
Ta có :
( x^2-4 + frac{x+2}{3} = (x-2)(x+2)+frac{x+2}{3} )
(= (x+2)(x-2+frac{1}{3}))
(=(x+2)(x-frac{5}{3}))
Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức
Để sử dụng phương pháp này chúng ta cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới đây:
Ngoài ra chúng ta nên ghi nhớ thêm một số đẳng thức thường gặp:
- (a^4-b^4=(a^2+b^2)(a-b)(a+b))
- ((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)
- ((a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a))
- ((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc)
Ví dụ:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x^2+4x+4-(2x+1)^3-(x-1)^2)
Cách giải:
Ta có:
( x^2+4x+4-(2x+1)^3-(x-1)^2= (x+2)^2-(x-1)^2-(2x+1)^3)
(= 3(2x+1)-(2x+1)^3)
(= (2x+1)(3-4x^2-4x-1) = -(4x^2+4x-2)(2x+1))
(=-(2x+1-sqrt{3})(2x+1+sqrt{3})(2x+1))
Phương pháp nhóm hạng tử
Đây là trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm.
Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao
Phương pháp tách, thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung
Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng định lý sau:
Nếu ( x=a ) là một nghiệm của phương trình ( f(x) =0 ) thì ta luôn có thể viết ( f(x) ) dưới dạng ( f(x) =(x-a).g(x) )
Như vậy ở các bài toán phân tích đa thức để thành nhân tử thì chúng ta cần nhẩm được nghiệm nguyên ( a ) của đa thức đã cho rồi từ đó tách, ghép để làm xuất hiện nhân tử ( (x-a) )
Phương pháp tách
Bài toán: (A(x)+B(x)+C(x))
Cách làm như sau: Chúng ta tách (C(x)=C_1(x)+C_2(x)) hợp lý sao cho ([A(x)+C_1(x)]) và ([B(x)+C_2(x)]) có nhân tử chung.
Ví dụ:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử (5x^3-7x+2)
Cách giải:
Xét phương trình (5x^3-7x+2=0)
Nhẩm nghiệm thấy ( x=1 ) là nghiệm của phương trình nên ta cần tách để làm xuất hiện nhân tử ( (x-1) )
Ta có:
( 5x^3-7x+2 = 5x^3-5x-2x+2 )
(= 5x(x^2-1)-2(x-1))
(= 5x(x+1)(x-1)-2(x-1))
(=(5x^2+5x-2)(x-1))
(=(sqrt{5}x+frac{sqrt{5}+sqrt{13}}{2})(sqrt{5}x+frac{sqrt{5}-sqrt{13}}{2})(x-1))
Phương pháp thêm bớt
Bài toán: Phân tích đa thức ( A(x)+B(x) ) thành nhân tử
Cách làm như sau : Chúng ta thêm vào ( A(x) ) một đại lượng ( C(x) ) rồi bớt đi ở ( B(x) ) đại lượng ( C(x) ) sao cho ( A(x)+C(x) ) và ( B(x) -C(x) ) có nhân tử chung
Ví dụ:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( x^3-x^2-4 )
Cách giải:
Xét phương trình ( x^3-x^2-4 =0 )
Nhẩm nghiệm thấy ( x=2 ) là nghiệm của phương trình nên ta thêm bớt để làm xuất hiện nhân tử ( (x-2) )
Ta có:
( x^3-x^2-4 = x^3-2x^2+x^2-2x+2x-4)
(= x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2))
(= (x-2)(x^2+x+2))
Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này thường được sử dụng để phân tích các đa thức bậc ( 4 ) thành nhân tử mà các đa thức đó ta không nhẩm được nghiệm nguyên. Nguyên lý của phương pháp này như sau:
Nếu hàm số bậc ( 4 ) phân tích được thành nhân tử thì nó sẽ phân tích được dưới dạng ((k_1x^2+ax+b)(k_2x^2+cx+d))
Thường trong các bài toán thì (k_1=k_2=1). Khi đó khai triển ta được
((x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)c+bd)
Như vậy với đa thức bậc ( 4 ) cho trước thì ta có thể đồng nhất các hệ số của từng hạng tử chứa ( x ) rồi giải hệ để tìm ra ( a,b,c,d ) rồi từ đó phân tích được thành nhân tử
***Chú ý: Nếu (k_1.k_2 neq 1) thì chúng ta khai triển gồm cả ( k_1;k_2 ) rồi giải hệ tìm ( k_1;k_2 )
Trong các bài toán thường thì các hệ số ( a;b;c;d ) là các số nguyên
Ví dụ:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x^4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3)
Cách giải:
Giả sử ta phân tích được đa thức dưới dạng
((x^2+ax+b)(x^2+cx+d) )
Khi đó ta có:
(x4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3 =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)c+bd)
Đồng nhất hệ số ta được:
(left{begin{matrix} a+c=-6 ac+b+d=12 ad+bc=-14 bd=3 end{matrix}right.)
Vì ( bd =3 ) nên ta chọn ( b=1;d=3 )
Khi đó:
(left{begin{matrix} a+c=-6 ac=8 3a+c=-14 end{matrix}right.)
(left{begin{matrix} a=-4 c=-2 end{matrix}right.)
Vậy (left{begin{matrix} a=-4 b=1 c=-2 d=1 end{matrix}right.)
Như vậy ta có:
( x^4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3 = (x^2-4x+1)(x^2-2x+3))
(=(x-2-sqrt{3})(x-2+sqrt{3})(x^2-2x+3))
Phương pháp đặt biến phụ thường gặp
Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
Ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử
Giải phương trình, bất phương trình
Để giải phương trình ( f(x) =0 ) thì ta phân tích hàm số ( f(x) ) thành nhân tử rồi tiến hành tìm nghiệm của từng nhân tử đó
Ví dụ:
Giải phương trình ( x^3+3x^2+4x+2 =0 )
Cách giải:
Phương trình đã cho tương đương với :
(x^3+x^2+2x^2+2x+2x+2=0)
(Leftrightarrow x^2(x+1)+2x(x+1)+2(x+1)=0)
(Leftrightarrow (x+1)(x^2+2x+2)=0)
(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x+1=0x^2+2x+2=0 end{array}right.)
(Rightarrow x=-1)
Rút gọn và tính giá trị biểu thức
Để giải các bài toán rút gọn và tính giá trị biểu thức dạng phân thức, ta tiến hành phân tích tử và mẫu của biểu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho các nhân tử chung của chúng
Ví dụ:
Rút gọn và tính giá trị biểu thức ( P ) với ( x=3 )
(P=frac{2}{(x+1)sqrt{x+1}+(x-1)sqrt{x-1}}.frac{frac{2x}{sqrt{x-1}}-sqrt{x+1}}{frac{1}{sqrt{x-1}}-frac{1}{sqrt{x+1}}})
Cách giải:
ĐKXĐ: ( x>1 )
Đặt (a=sqrt{x+1};b=sqrt{x-1}). ĐK : ( a>b>0 )
Khi đó : ( 2x = a^2+b^2 )
Thay vào ta được:
(P=frac{2}{a^3+b^3}.frac{frac{a^2+b^2}{b}-a}{frac{1}{b}-frac{1}{a}}=frac{2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}.frac{frac{a^2+b^2-ab}{b}}{frac{a-b}{ab}})
(=frac{2}{a+b}.frac{a}{a-b}=frac{2a}{a^2-b^2})
Thay vào ta được :
(P=frac{2sqrt{x+1}}{2}=sqrt{x+1})
Với ( x= 3 ) , thay vào ta được ( P=2 )
Sử dụng để chứng minh chia hết
Để chứng minh biểu thức ( A(x) ) chia hết cho biểu thức ( B(x) ) ta phân tích nhân tử ( A(x) = B(x). C(x) )
Ngoài ra ta có thể sử dụng định lý sau:
Trong dãy ( k ) số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại duy nhất một và chỉ một số chia hết cho ( k ) với (k in mathbb{Z}^{+})
Ví dụ:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ( n ) thì biểu thức
(P=frac{n}{3}+frac{n^2}{2}+frac{n^3}{6}) luôn là một số nguyên dương
Cách giải:
Ta có:
(P=frac{n}{3}+frac{n^2}{2}+frac{n^3}{6}=frac{n^3+3n^2+2n}{6}=frac{n(n+1)(n+2)}{6})
Vì ( n;n+1;n+2 ) là ba số tự nhiên liên tiếp nên
(Rightarrow) Trong ba số ( n;n+1;n+2 ) luôn tồn tại một số chia hết cho ( 3 ) và một số chia hết cho ( 2 )
(Rightarrow n(n+1)(n+2)vdots 3) và (Rightarrow n(n+1)(n+2)vdots 2)
Vì ước chung nhỏ nhất của ( 2;3 ) là ( 1 ) nên
(Rightarrow n(n+1)(n+2)vdots 6)
Vậy (Rightarrow P) là số nguyên dương
Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
Sau đây là một số bài tập phân tích đa thức để thành nhân tử để các bạn luyện tập
( x^2-2x-8 )
( x^3-7x+6 )
( x^4-8x^3+24x^2-35x+20 )
(2x^2-(x-1)sqrt{x+1}-2 )
(xsqrt{x}-sqrt{x}sqrt{x+1}+sqrt{x}-xsqrt{x+1}+x+2-2sqrt{x+1})
( a^3+b^3+c^3-3abc )
( (a^2b +b^2c+c^2a) – (ab^2+bc^2+ca^2) )
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.COM.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về chuyên đề phân tích đa thức để thành nhân tử. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử. Chúc bạn luôn học tốt!.
Xem thêm:
