Home
Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

13 Tháng mười, 2021 TIN TỨC Không có bình luận

Or you want a quick look: Giải bài tập toán 9 trang 68, 69, 70 tập 1

Giải bài tập SGK Toán 9 trang 68, 69, 70 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông thuộc chương trình Hình học 9 Chương 1. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 1 Chương I Hình học 9 tập 1.

Giải bài tập toán 9 trang 68, 69, 70 tập 1

Bài 1 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)

Gợi ý đáp án 

a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:

Áp dụng định lí Pytago vào Delta{ABC}

vuông tại A, ta có:

BC=sqrt{AB^2+AC^2}=sqrt{6^2+8^2}=10

Áp dụng hệ thức lượng vào Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH, ta có:

AB^2=BC.BHRightarrow BH=dfrac{AB^2}{BC}=dfrac{6^2}{10}=3,6

Lại có HC=BC-BH=10-3,6=6,4

Vậy x =BH= 3,6; y=HC = 6,4.

b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới

Áp dụng hệ thức lượng vào Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH, ta có:

AB^2=BH.BC Leftrightarrow 12^2=20.x Rightarrow x=dfrac{12^2}{20}=7,2

Lại có: HC=BC-BH=20-7,2=12,8

Vậy x=BH = 7,2; y=HC = 12,8.

Bài 2 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)

Gợi ý đáp án 

Ta có: BC=BH + HC=1+4=5.

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AB^2=BH.BC Leftrightarrow x^2=1.5

(với x > 0)

Leftrightarrow x^2=5 Leftrightarrow x=sqrt 5.

AC^2=CH.BC Leftrightarrow y^2=4.5

(với y> 0)

Leftrightarrow y^2=20 Leftrightarrow y=sqrt{20} Leftrightarrow y=2sqrt{5}.

Vậy x= sqrt 5, y=2sqrt 5.

Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)

Gợi ý đáp án 

Xét Delta{ABC}

 vuông tại A. Theo định lí Pytago, ta có:

BC^2=AB^2+AC^2

Leftrightarrow y^2=5^2+7^2 Leftrightarrow y^2=25+49

Leftrightarrow y^2=74 Leftrightarrow y=sqrt{74}

Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

dfrac{1}{AH^2}=dfrac{1}{AB^2}+dfrac{1}{AC^2}

Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{1}{5^2}+dfrac{1}{7^2} Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{1}{25}+dfrac{1}{49}

Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{49}{25.49}+dfrac{25}{25.49} Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{49+25}{25.49}

Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{74}{1225} Leftrightarrow x=sqrt{dfrac{1225}{74}}

Leftrightarrow x=dfrac{35sqrt{74}}{74}

Vậy x=dfrac{35sqrt{74}}{74}, , y=sqrt {74}

Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)

READ  Tập làm văn lớp 5: Tả quang cảnh trường em trước buổi học

Gợi ý đáp án 

Theo định lí 2 ta có:

22 = 1.x => x = 4

Theo định lí 1 ta có:

y2 = x(1 + x) = 4(1 + 4) = 20

=> y = √20 = 2√5

Giải bài tập toán 9 trang 69, 70 tập 1: Luyện tập

Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Gợi ý đáp án 

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH có AB=3, AC=4. Ta cần tính AH, BH và CH.

Áp dụng định lí Pytago cho Delta{ABC}

vuông tại A, ta có:

BC^2=AB^2+AC^2

Leftrightarrow BC^2= 3^2+4^2 Leftrightarrow BC^2=9+16=25

Leftrightarrow BC=sqrt{25}= 5.

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

*AH.BC=AB.AC Leftrightarrow AH.5=3.4

Leftrightarrow AH=dfrac{3.4}{5}=2,4

* AB^2=BH.BC Leftrightarrow 3^2=BH.5 Leftrightarrow 9=BH.5 Leftrightarrow BH=dfrac{9}{5}=1,8

* AC^2=CH.BC Leftrightarrow 4^2=CH.5 Leftrightarrow 16=CH.5 Leftrightarrow CH=dfrac{16}{5}=3,2

Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Gợi ý đáp án 

ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.

BC = BH + HC = 1 + 2 = 3

Theo định lí 1: AB2 = BH.BC = 1.3 = 3

=> AB = √3

Theo định lí 1: AC2 = HC.BC = 2.3 = 6

=> AC = √6

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.

Bài 7 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:


Gợi ý đáp án 

Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại A.

Vì vậy AH2 = BH.CH hay x2 = ab

Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.

Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Gợi ý đáp án 

Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng hệ thức h^2=b'.c', ta được:

AH^2=BH.CH Leftrightarrow x^2=4.9=36 Leftrightarrow x=sqrt{36}=6

Vậy x=6

b) Đặt tên các điểm như hình vẽ

Xét Delta{DEF}

vuông tại D, đường cao DH. Áp dụng hệ thức dfrac{1}{h^2}=dfrac{1}{b^2}+dfrac{1}{c^2}, ta được:

dfrac{1}{DH^2}=dfrac{1}{DE^2}+dfrac{1}{DF^2} Leftrightarrow dfrac{1}{2^2}=dfrac{1}{y^2}+dfrac{1}{y^2}

Leftrightarrow dfrac{1}{4}=dfrac{2}{y^2} Leftrightarrow y^2=4.2=8 Leftrightarrow y=sqrt 8=2sqrt 2.

Xét Delta{DHF}

vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

DF^2=DH^2+HF^2 Leftrightarrow (2sqrt 2)^2=2^2+x^2 Leftrightarrow 8=4+x^2

Leftrightarrow x^2=4 Leftrightarrow x=sqrt 4=2

Vậy x= 2, y=2sqrt 2.

c) Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét Delta{MNP}

vuông tại P, đường cao PH. Áp dụng hệ thức h^2=b'.c‘, ta được:

PH^2=HM.HN Leftrightarrow 12^2=16.x Leftrightarrow 144=16.x Leftrightarrow x=dfrac{144}{16}=9

Xét Delta{PHN}

vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

PN^2=PH^2+HN^2 Leftrightarrow y^2=12^2+9^2 Leftrightarrow y^2=144+81=225 Leftrightarrow y= sqrt{225}=15

Vậy x=9, y=15.

Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

READ  Kinh Quốc là ai? - VietNamNet | Vuidulich.vn

b) Tổng dfrac{1}{DI^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

Gợi ý đáp án

a) Xét Delta ADI và Delta CDL

có:

widehat{A}=widehat{C}= 90^{circ}

AD=CD (hai cạnh hình vuông)

widehat{D_{1}}=widehat{D_{2}} (cùng phụ với widehat{CDI})

Do đó Delta ADI=Delta CDL

(g.c.g)

Suy ra DI=DL.

Vậy Delta DIL

cân (đpcm).

b) Xét Delta{DLK}

vuông tại D, đường cao DC.

Áp dụng hệ thức dfrac{1}{h^{2}}=dfrac{1}{b^{2}}+dfrac{1}{c^{2}}

, ta có:

dfrac{1}{DC^{2}}=dfrac{1}{DL^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

(mà DL=DI)

Suy ra dfrac{1}{DC^{2}}=dfrac{1}{DI^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

Do DC không đổi nên dfrac{1}{DI^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức dfrac{1}{h^{2}}=dfrac{1}{b^{2}}+dfrac{1}{c^{2}}

Nếu đề bài không cho vẽ DLperp DK thì ta vẫn phải vẽ đường phụ DLperp DK để có thể vận dụng hệ thức trên.

Giải bài tập SGK Toán 9 trang 68, 69, 70 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông thuộc chương trình Hình học 9 Chương 1. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 1 Chương I Hình học 9 tập 1.

Giải bài tập toán 9 trang 68, 69, 70 tập 1

Bài 1 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)

Gợi ý đáp án 

a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:

Áp dụng định lí Pytago vào Delta{ABC}

vuông tại A, ta có:

BC=sqrt{AB^2+AC^2}=sqrt{6^2+8^2}=10

Áp dụng hệ thức lượng vào Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH, ta có:

AB^2=BC.BHRightarrow BH=dfrac{AB^2}{BC}=dfrac{6^2}{10}=3,6

Lại có HC=BC-BH=10-3,6=6,4

Vậy x =BH= 3,6; y=HC = 6,4.

b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới

Áp dụng hệ thức lượng vào Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH, ta có:

AB^2=BH.BC Leftrightarrow 12^2=20.x Rightarrow x=dfrac{12^2}{20}=7,2

Lại có: HC=BC-BH=20-7,2=12,8

Vậy x=BH = 7,2; y=HC = 12,8.

Bài 2 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)

Gợi ý đáp án 

Ta có: BC=BH + HC=1+4=5.

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AB^2=BH.BC Leftrightarrow x^2=1.5

(với x > 0)

Leftrightarrow x^2=5 Leftrightarrow x=sqrt 5.

AC^2=CH.BC Leftrightarrow y^2=4.5

(với y> 0)

Leftrightarrow y^2=20 Leftrightarrow y=sqrt{20} Leftrightarrow y=2sqrt{5}.

Vậy x= sqrt 5, y=2sqrt 5.

Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)

Gợi ý đáp án 

Xét Delta{ABC}

 vuông tại A. Theo định lí Pytago, ta có:

BC^2=AB^2+AC^2

Leftrightarrow y^2=5^2+7^2 Leftrightarrow y^2=25+49

Leftrightarrow y^2=74 Leftrightarrow y=sqrt{74}

Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

dfrac{1}{AH^2}=dfrac{1}{AB^2}+dfrac{1}{AC^2}

Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{1}{5^2}+dfrac{1}{7^2} Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{1}{25}+dfrac{1}{49}

Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{49}{25.49}+dfrac{25}{25.49} Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{49+25}{25.49}

Leftrightarrow dfrac{1}{x^2}=dfrac{74}{1225} Leftrightarrow x=sqrt{dfrac{1225}{74}}

Leftrightarrow x=dfrac{35sqrt{74}}{74}

Vậy x=dfrac{35sqrt{74}}{74}, , y=sqrt {74}

Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)

Gợi ý đáp án 

Theo định lí 2 ta có:

22 = 1.x => x = 4

Theo định lí 1 ta có:

y2 = x(1 + x) = 4(1 + 4) = 20

=> y = √20 = 2√5

Giải bài tập toán 9 trang 69, 70 tập 1: Luyện tập

Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Gợi ý đáp án 

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH có AB=3, AC=4. Ta cần tính AH, BH và CH.
READ  Cô bé Khả Ái lạc mẹ trong Play Together là ai?

Áp dụng định lí Pytago cho Delta{ABC}

vuông tại A, ta có:

BC^2=AB^2+AC^2

Leftrightarrow BC^2= 3^2+4^2 Leftrightarrow BC^2=9+16=25

Leftrightarrow BC=sqrt{25}= 5.

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

*AH.BC=AB.AC Leftrightarrow AH.5=3.4

Leftrightarrow AH=dfrac{3.4}{5}=2,4

* AB^2=BH.BC Leftrightarrow 3^2=BH.5 Leftrightarrow 9=BH.5 Leftrightarrow BH=dfrac{9}{5}=1,8

* AC^2=CH.BC Leftrightarrow 4^2=CH.5 Leftrightarrow 16=CH.5 Leftrightarrow CH=dfrac{16}{5}=3,2

Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Gợi ý đáp án 

ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.

BC = BH + HC = 1 + 2 = 3

Theo định lí 1: AB2 = BH.BC = 1.3 = 3

=> AB = √3

Theo định lí 1: AC2 = HC.BC = 2.3 = 6

=> AC = √6

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.

Bài 7 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:


Gợi ý đáp án 

Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại A.

Vì vậy AH2 = BH.CH hay x2 = ab

Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.

Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Gợi ý đáp án 

Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét Delta{ABC}

vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng hệ thức h^2=b'.c', ta được:

AH^2=BH.CH Leftrightarrow x^2=4.9=36 Leftrightarrow x=sqrt{36}=6

Vậy x=6

b) Đặt tên các điểm như hình vẽ

Xét Delta{DEF}

vuông tại D, đường cao DH. Áp dụng hệ thức dfrac{1}{h^2}=dfrac{1}{b^2}+dfrac{1}{c^2}, ta được:

dfrac{1}{DH^2}=dfrac{1}{DE^2}+dfrac{1}{DF^2} Leftrightarrow dfrac{1}{2^2}=dfrac{1}{y^2}+dfrac{1}{y^2}

Leftrightarrow dfrac{1}{4}=dfrac{2}{y^2} Leftrightarrow y^2=4.2=8 Leftrightarrow y=sqrt 8=2sqrt 2.

Xét Delta{DHF}

vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

DF^2=DH^2+HF^2 Leftrightarrow (2sqrt 2)^2=2^2+x^2 Leftrightarrow 8=4+x^2

Leftrightarrow x^2=4 Leftrightarrow x=sqrt 4=2

Vậy x= 2, y=2sqrt 2.

c) Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét Delta{MNP}

vuông tại P, đường cao PH. Áp dụng hệ thức h^2=b'.c‘, ta được:

PH^2=HM.HN Leftrightarrow 12^2=16.x Leftrightarrow 144=16.x Leftrightarrow x=dfrac{144}{16}=9

Xét Delta{PHN}

vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

PN^2=PH^2+HN^2 Leftrightarrow y^2=12^2+9^2 Leftrightarrow y^2=144+81=225 Leftrightarrow y= sqrt{225}=15

Vậy x=9, y=15.

Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng dfrac{1}{DI^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

Gợi ý đáp án

a) Xét Delta ADI và Delta CDL

có:

widehat{A}=widehat{C}= 90^{circ}

AD=CD (hai cạnh hình vuông)

widehat{D_{1}}=widehat{D_{2}} (cùng phụ với widehat{CDI})

Do đó Delta ADI=Delta CDL

(g.c.g)

Suy ra DI=DL.

Vậy Delta DIL

cân (đpcm).

b) Xét Delta{DLK}

vuông tại D, đường cao DC.

Áp dụng hệ thức dfrac{1}{h^{2}}=dfrac{1}{b^{2}}+dfrac{1}{c^{2}}

, ta có:

dfrac{1}{DC^{2}}=dfrac{1}{DL^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

(mà DL=DI)

Suy ra dfrac{1}{DC^{2}}=dfrac{1}{DI^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

Do DC không đổi nên dfrac{1}{DI^{2}}+dfrac{1}{DK^{2}}

là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức dfrac{1}{h^{2}}=dfrac{1}{b^{2}}+dfrac{1}{c^{2}}

Nếu đề bài không cho vẽ DLperp DK thì ta vẫn phải vẽ đường phụ DLperp DK để có thể vận dụng hệ thức trên.

See more articles in the category: TIN TỨC

About The Author

admin

Leave a Reply