Đồ thị của hàm số y=ax+b và tổng hợp các dạng đồ thị hàm số liên quan

Đồ thị của hàm số y=ax+b là dạng đồ thị thường gặp trong chương trình toán học THCS cũng như THPT. Nắm chắc kiến thức lý thuyết cũng như các dạng bài tập về dạng đồ thị này sẽ giúp bạn khi chinh phục môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia. Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tổng hợp kiến thức về đồ thị của hàm số y=ax+b cùng với một số dạng đồ thị hàm số liên quan nhé!.

Lý thuyết về hàm số và đồ thị hàm số

Định nghĩa hàm số là gì? 

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x thì ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x sẽ được gọi là biến số.

Nhận xét:

• Nếu đại lượng (y) là hàm số của (x) thì mỗi giá trị của (x) đều có một giá trị tương ứng của (y).
• Khi (x) thay đổi mà (y) luôn nhận được một giá trị thì (y) được gọi là hàm hằng.
• Tập xác định D của hàm số (fleft ( x right )) là tập hợp các giá trị của (x) sao cho (fleft ( x right )) có nghĩa.
• Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc bằng công thức.
• Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = (f(x)). Chẳng hạn hàm số y = 3x + 5 ta còn viết y = (f(x)) = 3x + 5. Nếu cho x = 2 thì giá trị tương ứng của y khi đó là: 3.2+5 = 11, ta viết (f(2) = 11[latex]

Định nghĩa đồ thị của hàm số là gì?

Đồ thị của hàm số [latex]y = fleft ( x right )) là tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (left ( x;fleft ( x right ) right )) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Biến thiên của hàm số 

Tìm hiểu sự biến thiên của hàm số chính là nghiên cứu về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số. 

Cho hàm số xác định trên tập D. Khi đó:

Lý thuyết về đồ thị của hàm số y=ax+b

Dưới đây là tổng hợp kiến thức về đồ thị hàm số bậc nhất (y = ax + b)

Định nghĩa đồ thị của hàm số y=ax+b

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a(ne)0.

Chú ý: Nếu b = 0, thì hàm số có dạng y = ax (đã học ở lớp 7).

Sự biến thiên của hàm số y = ax +b 

• Đồng biến trên R, khi a > 0
• Nghịch biến trên R, khi a < 0

Cách nhận dạng đồ thị hàm số y=ax+b

Đồ thị hàm số y = ax + b (a (ne)0) là một đường thẳng:

• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
• Song song với đường thẳng y = ax, nếu b (ne)0.
• Trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0.

Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b (a (ne)0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

Cách vẽ đồ thị của hàm số y=ax+b (a(ne)0) 

Trường hợp 1: Khi b = 0 thì y = ax

Đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(1;a).

Ví dụ : Đồ thị hàm số (y = 2x) và cách nhận biết là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm (Aleft ( 1;2 right )).

Trường hợp 2: Khi b (ne)0 và a(ne)0 thì y = ax + b

• Bước 1:
  • Cho x = 0 thì y = b (Rightarrow) A(0;b) thuộc trục tung Oy.
  • Cho y = 0 thì x = (-frac{b}{a} Rightarrow) B((-frac{b}{a});0) thuộc trục hoành Ox.
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A,B ta được đồ thị hàm số y = ax + b.

Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị hàm số của (y = frac{3}{2}x-3)

Cách giải

Vì hệ số (a = frac{3}{2} > 0) nên hàm số đồng biến trên R.

• Bước 1: 
  • Cho x = 0 thì y = – 3.
  • Cho y = 0 thì x = – frac{b}{a}= -frac{-3}{frac{3}{2}} = 2. Đồ thị hàm số được xác định điểm A(0;-3) và B(2;0)
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được: 

Các dạng bài tập đồ thị của hàm số y=ax+b

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

• Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm.
• Bước 2: Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm. 

Ví dụ : Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 5x – 7 và y = 3x + 1.

Cách giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là : 5x – 7 = 3x + 1 

(Leftrightarrow) 2x = 8 

(Leftrightarrow) x = 4

thay x = 4 vào y = 3x + 1, ta được 

y = 3*4 + 1 

(Rightarrow) y = 13 

Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (4;13).

Dạng 2: Tìm hệ số để đồ thị của hàm số y=ax+b cắt tại một điểm

Đây chính là dạng toán xác định hệ số a,b để đồ thị hàm số y = ax + b (a(ne)0) cắt trục Ox, Oy hay đi qua một điểm nào đó

Phương pháp giải: Ta sử dụng kiến thức: Đồ thị hàm số y = ax + b (a(ne)0) đi qua điểm M(x_{0},y_{0}) khi và chỉ khi (y_{0} = ax_{0} + b).

Ví dụ: Viết phương đường thẳng y = ax + b đi qua A(-2;2) và song song với đường thẳng ((d_{2})): y = (frac{-1}{2})x + 1.

Cách giải: 

Ta có (d) : y = ax + b và ((d_{2})) : y = (frac{-1}{2})x + 1 và đi qua A(-2;2)

(Rightarrow) 2 = -2*a + b

(Leftrightarrow) b = 2 + 2a  (1)

(d) song song với ((d_{2})) : y = (frac{-1}{2})x +1

(Rightarrow) a = a’ = (frac{-1}{2}) 

thay a = (frac{-1}{2}) vào (1), ta được 

b = 2 + 2.((frac{-1}{2})) 

 = 2 – 1

 = 1

(Rightarrow) (d): y = ((frac{-1}{2}))x + 1

Dạng 3: Tính đồng quy của ba đường thẳng 

Phương pháp giải: Để xét tính đồng quy của ba đường thẳng cho trước, ta thực hiện các bước sau: 

• Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho.
• Bước 2: Kiểm tra xem nếu giao điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại thì kết luận ba đường thẳng đồng quy

Ví dụ: Tìm m để ba đường thẳng đồng quy ((d_{1})): 2x + 3 ; ((d_{2})): x + 1; ((d_{3})): (2m – 4)x – 2

Cách giải: 

Ba đường thẳng ((d_{1})) , ((d_{2})) , ((d_{3})) đồng quy 

(Leftrightarrow (d_{1}) cap (d_{2}) cap (d_{3})) tại 1 điểm.

Tọa độ giao điểm của ((d_{1})) và ((d_{2})) là

2x + 3 = x + 1 

(Leftrightarrow) x = -2

Thế x = -2 vào ((d_{2})): y = x + 1 ta được

y = -2 + 1 = -1

(Rightarrow) điểm (-2;-1) (in (d_{3}))

(Leftrightarrow) -1 = (2m – 4)*(-2) – 2

(Leftrightarrow) -1 = -4m + 8 – 2 

(Leftrightarrow) -1 = -4m + 6

(Leftrightarrow) -4m = -7

(Leftrightarrow m = frac{7}{4})

Vậy m =( frac{7}{4}).

Lý thuyết về đồ thị của hàm số y=ax^2

Đồ thị hàm số (y = ax^{2}) (khi a( ne 0) b = 0 , c = 0)

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 

Tìm hiểu sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (y = ax^{2})

• Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến nếu x < 0 và nghịch biến khi x > 0
• Nếu một hàm số tiến dần về (+infty) thì hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất tại y = 0
• Nếu một hàm số tiến dần về (-infty) thì hàm số đó đạt giá trị lớn nhất tại y = 0

Kiến thức đồ thị hàm số (y = ax^{2})

Đồ thị hàm số (y = ax^{2}(a ne 0) ) là một đường cong đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Đường cong đó là một parabol với đỉnh là O(0;0) 

• Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
• Nếu a < 0 đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị 

Các bài toán về đến đồ thị hàm số (y = ax^{2} (a ne 0))

Cách nhận biết và vẽ đồ thị hàm số  (y = ax^{2} (a ne 0))

• Bước 1: Lập bảng giá trị đặc biệt tương ứng giữa x và y: Thông thường ta sẽ lấy 5 giá trị của x (ví dụ -2;-1;0;1;2) rồi tính lần lượt giá trị của y tương ứng. Tuy nhiên ta cần linh hoạt trong việc chọn giá trị của x để có thể tính y cho kết quả tốt nhất.
• Bước 2: Biểu diễn các điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ Oxy và vẽ đồ thị dạng parabol của hàm số đi qua các điểm đó.

Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng 

Cho parabol (P) : (y = ax^{2}(a ne 0)) và đường thẳng (d): y = mx + n. Để tìm được tọa độ giao điểm của (d) và (P) ta làm như sau: 

• Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) (ax^{2} = mx + n) (*)
• Bước 2: Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó tìm được tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Một số lưu ý: 

• Số nghiệm của phương trình (*) bằng đúng với số giao điểm của (d) và (P)
• Nếu (*) vô nghiệm thì (d) không cắt (P)
• Nếu (*) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)
• Nếu (*) có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Lý thuyết về đồ thị của hàm số y=ax^2+bx+c

Cách nhận biết (y = ax^{2} +bx +c) 

• Tập xác định D = R
• Tọa độ đỉnh I là((frac{-b}{2a};f(frac{-b}{2a}))) = (frac{-Delta}{4a})
• Trục đối xứng: x = (frac{-b}{2a}) 
• Tính biến thiên của hàm số: 
  • a > 0 hàm số nghịch biến trên ((-infty;frac{-b}{2a})) và đồng biến trên khoảng ((frac{-b}{2a};+infty))
  • a < 0 hàm số đồng biến trên ((-infty;frac{-b}{2a})) và đồng biến trên khoảng ((frac{-b}{2a};+infty))
• Bảng biến thiên: 

Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax^2+bx+c

Dưới đây là cách vẽ đồ thị (y = ax^{2}+bx+c)

• Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh (I = left ( frac{-b}{2a};fleft ( frac{-b}{2a} right ) right ))
• Bước 2: Vẽ trục đối xứng (x= frac{-b}{2a})
• Bước 3: Xác định tọa độ giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c)) và trục hoành (nếu có).

Nhận xét: 

• Nếu (Delta > 0) Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
• Nếu (Delta = 0) Parabol tiếp xúc với trục hoành.
• Nếu (Delta < 0) Parabol không cắt trục hoành.

Lý thuyết đồ thị của hàm số (y= ax^{3}+bx^{2}+cx+d(a ne 0))

Đồ thị hàm số bậc ba: y = ax^{3}+bx^{2}+cx+d(a ne 0) và cách nhận biết

• Tập xác định D = R
• Sự biến thiên:
  • ({y}’ = 3x^{2}+ 2bx +c)
  • ({y}’ = 0) có hai nghiệm phân biệt (x_{1},x_{2} Rightarrow) có cực trị.
  • ({y}’ = 0) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (Rightarrow) không có cực trị.

• Đồ thị: Điểm uốn (U = (x_{0},y_{0})) với (x_{0}) là nghiệm của phương trình ({y}” = 0) và y_{0} = f(x_{0})
  • Trường hợp 1: ({y}’ = 0) có hai nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow {Delta}’ = b^{2} -3ac>0)

• • Trường hợp 2: ({y}’ = 0) có nghiệm kép (Leftrightarrow {Delta}’ = b^{2} -3ac=0)

• • Trường hợp 3: ({y}’ = 0) vô nghiệm ( Leftrightarrow {Delta}’ = b^{2} -3ac<0)

Lý thuyết hàm số trùng phương (y = ax^{4}+bx^{2}+c (ane0)) 

Dưới đây cùng tham khảo về hàm số trùng phương (y = ax^{4}+bx^{2}+c (ane0)) và cách nhận biết.

• Tập xác định D = R
• Sự biến thiên
  • ({y}’=4ax^{3}+2bx = 2x(2ax^{2}+b)) 
  • ({y}’=0Leftrightarrow x = 0) hoặc (x^{2}=frac{-b}{2a})

• Đồ thị của hàm số trùng phương (y = ax^{4}+bx^{2}+c (ane0)) có dạng:
  • Trường hợp 1: ({y}’ = 0) có 3 nghiệm phân biệt (Leftrightarrow ab<0)

• • Trường hợp 2: ({y}’ = 0) chỉ có một nghiệm (Leftrightarrow) ab > 0 hoặc b = 0

Lý thuyết về đồ thị hàm số của hàm hữu tỉ 

Cho hàm số (y = frac{ax+b}{cx+d}) 

• Tập xác định D = R (left { frac{-d}{c} right })
• Sự biến thiên ({y}’ = frac{ad-bc}{(cx+d)^{2}})
• Đường tiệm cận: Tiệm cận đứng (x=frac{-d}{c}); Tiệm cận ngang: (y=frac{a}{c}) 
• Tâm đối xứng (I = left ( -frac{d}{c};frac{a}{c} right ))
• Bảng biến thiên:

• Đồ thị hàm số hữu tỉ (y = frac{ax+b}{cx+d}) và cách nhận biết có dạng.

DINHNGHIA.COM.VN đã cùng bạn tìm hiểu chi tiết về đồ thị của hàm số y=ax+b cùng một số dạng đồ thị hàm số. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về chủ đề lý thuyết và các dạng bài tập của đồ thị của hàm số y=ax+b. Chúc bạn luôn học tập tốt!. 

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm: