Cấp số nhân là gì? Định nghĩa cấp số nhân? Lý thuyết cấp số nhân? Giải hệ cấp số nhân?… Có thể thấy, đây là phần kiến thức quan trọng trong chương trình học của em học sinh. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về lý thuyết, định nghĩa cấp số nhân là gì cùng những nội dung liên quan nhé!
Nội dung chính bài viết
Định nghĩa cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Nếu ((u_{n})) là cấp số nhân với công bội q, thì ta có công thức truy hồi:
(u_{n+1}=u_{n}q)
với (nin N^{*})
Ví dụ 1: Dãy số 2, 4, 8, 16… là một cấp số nhân với công bội q = 2.
Công bội q
Công bội q của cấp số nhân ((u_{1})) được tính bằng công thức:
(q=frac{u_{n+1}}{u_{n}})
Ví dụ 4: Cho cấp số nhân ((u_{n})) có ((u_{1})) =2 , ((u_{2})) = 4. Tính công bội q.
Lời giải: Áp dụng công thức tính công bội q ta có:
(q=frac{u_{2}}{u_{1}}=frac{4}{2}=2)
Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ((u_{1})) và công bội q thì số hạng tổng quát ((u_{n})) được tính bởi công thức:
(u_{n}=u_{1}.q^{n-1})ới (ngeq 2)
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân ((u_{n})) với ((u_{1})) = 3, (q=frac{-1}{2}). Tính ((u_{7}))
Giải: (u_{7}=u_{1}.q^{7-1})=3.((frac{-1}{2})^{6}) = (frac{3}{64})
Tổng n số hạng đầu tiên
(S_{n} = u_{1} + u_{2} + … + u_{n} = u_{1}frac{1 – q^{n}}{1 – q} (qneq 1))
Nếu q = 1 thì cấp số nhân là (S_{n} = n.u_{1})
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân ((u_{n})) biết ((u_{1})) = 2, ((u_{3})) = 18. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên.
Giải: Ta có (u_{3}=q^{2}.u_{1}=2.q^{2}=18)
Suy ra q = 3 hoặc q= -3
- Với q =3 ta có (S_{10}=frac{10_{1}(1-3^10)}{1-3}) = 59048
- Với q=-3 ta có (S_{10}=frac{10_{1}(1-3^10)}{1+3}) = -29524
Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?
((u_{n})) có công bội q, |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ 4: (frac{1}{2}, frac{1}{4}, frac{1}{8}, frac{1}{16}),… là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội (q=frac{1}{2})
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân lùi vô hạn ((u_{n})) có công bội q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:
(S=frac{u_{1}}{1-q}) với |q| < 1
Ví dụ 5: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ((u_{n})) với (u_{n}=frac{1}{3^{n}})
Lời giải: Ta có (u_{1}=frac{1}{3}), (u_{2}=frac{1}{9}).
Suy ra (q=frac{1}{3}).
Áp dụng công thức tính ta có:
(S=frac{u_{1}}{1-q})
(S=frac{frac{1}{3}}{1-frac{1}{3}}=frac{1}{2})
Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về định nghĩa cấp số nhân là gì. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới. Cảm ơn các bạn, đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nhé.
Xem thêm:
