Dãy số cấp số cộng cấp số nhân là một chuyên đề lớn trong toán học 11. Vậy dãy số là gì? Cấp số cộng, cấp số nhân là gì? Có những dạng bài nào liên quan tới phần kiến thức này? Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu cụ thể và chi tiết trong bài viết dưới đây!
Nội dung chính bài viết
Khái niệm dãy số cấp số cộng cấp số nhân
Định nghĩa về dãy số
Khái niệm về dãy số lớp 11 có thể được hiểu như sau:
- Một hàm số U xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn (dãy số).
- Một hàm sô u xác định trên tập m sô nguyên dương đầu tiên (m cho trước) là một dãy số hữu hạn.
Định nghĩa về cấp số
Cấp số là những dãy số tuân theo một quy luật đặc biệt. Trong đó các em sẽ được học hai cấp số phổ biến nhất, đó là cấp số cộng và cấp số nhân.
Cấp số cộng a1,a2,…an là dãy số xác định bởi:
a1=a
ak+1 = ak + d với mọi k=1,… n – 1
Trong đó: a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số cộng.
Cấp số cộng có thể được đặc trưng đơn giản bởi đẳng thức: ak+1 – 2ak + ak-1 = 0 với mọi k=2,… n-1.
Cấp số nhân a1,a2,…an là dãy số xác định bởi:
a1=a
ak+1 = q.ak với mọi k=1,… n – 1
Trong đó: a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số nhân.
Cấp số nhân có thể được đặc trưng đơn giản bởi đẳng thức: ak+1 ak-1 = ak2 với mọi k=2,…, n-1
Phân loại dãy số cấp số cộng cấp số nhân
Dãy số
Dãy số tự nhiên dãy số pi hẳn là dãy số đã quen thuộc với chúng ta. Bên cạnh đó, ta còn những loại dãy số nào?
- Un được gọi là dãy số tăng nếu: n thuộc tập N* và Un+1 > Un
- Un được gọi là dãy số giảm nếu: n thuộc tập N* và Un+1 < Un
- Un được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tốn tại M sao cho Un ≤ M và M thuộc tập N*
- Un được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tốn tại m sao cho Un ≥ m và m thuộc tập N*.
- Un là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Cấp số cộng
Cấp số cộng gồm có hai loại cơ bản:
- Cấp số cộng hữu hạn phần tử
- Cấp số cộng vô hạn phần tử.
Ví dụ: các bội số dương của 5 là cấp số cộng có vô hạn phần tử.
Các bội số dương của 5 nhưng nhỏ hơn 125 là cấp số cộng hữu hạn phần tử.
Cấp số nhân
Cấp số nhân cũng được chia thành hai loại như sau:
- Cấp số nhân hữu hạn phần tử
- Cấp số nhân vô hạn phần tử.
Với các cấp số nhân vô hạn phần tử và có |q| < 1 thì được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Một số dạng bài tập về dãy số cấp số cộng cấp số nhân
Dạng 1: Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số có quy luật
Từ một dãy số cho trước dưới một cách viết khác như liệt kê, truy hồi, mô tả tính chất… Đề bài sẽ yêu cầu ta tìm công thức dưới dạng tường minh của một dãy số.
Ví dụ:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số: {u1= 3 Un+1=2Un với mọi n thuộc N*.
Cách giải: ta có: U1=3
Suy ra: U2=2U1=3.2=6
U3= 2U2= 3.22= 12
Vậy: Un= 3.2 n-1
Dạng 2: Cấp số cộng
Để giải các bài toán liên quan tới cấp số cộng, ta cần lưu ý công thức:
- Công thức tính số hạng tổng quát của số cộng: ak= a + (k-1)d
- Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Sn= a1 + a2+…+an = (a1+an)n2 = na + n(n-1)d2
Dạng 3: Cấp số nhân
Tương tự với cấp số cộng, ta cần lưu ý công thức:
- Công thức tính số hạng tổng quát của số nhân: ak= a.qk-1
- Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
Sn= a1 + a2+…+an = a +aq + … + aq n-1 = a(1-qn )1-q
Vậy là ta đã tìm hiểu xong những kiến thức tổng quan về dãy số cấp số cộng cấp số nhân. Nếu có bất cứ câu hỏi nào liên quan đến bài viết hay có đóng góp gì cho chuyên đề dãy số cấp số cộng cấp số nhân thì bạn hãy nhận xét bên dưới để chúng mình có thể trao đổi thêm nhé. Và hãy đến với DINHNGHIA.COM.VN để khám phá nhiều kiến thức thú vị hơn!.
