Dấu của tam thức bậc hai là chuyên đề quan trọng có liên quan đến nhiều dạng bài tập trong chương trình toán học trung học cơ sở. Bên cạnh việc ghi nhớ quy tắc “Trong trái ngoài cùng” khi xét dấu của tam thức bậc 2 có hai nghiệm phân nghiệm thì các bạn cũng cần nắm được lý thuyết, ví dụ cũng như các dạng bài tập về chủ đề này. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu cụ thể hơn nhé!
Nội dung chính bài viết
Kiến thức cơ bản tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai là gì?
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức dạng (ax^{2}+bx+c). Trong đó: a, b, c là những số cho trước với (aneq 0).
Nghiệm của tam thức bậc 2
Nghiệm của phương trình (ax^{2}+bx+c)=0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai (f(x)=ax^{2}+bx+c)
(Delta =b^{2}-4ac) được gọi là biệt thức
(Delta ‘=b’^{2}-ac) được gọi là biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai (f(x)=ax^{2}+bx+c).
So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số
Tìm hiểu dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc 2 tổng quát
Dấu của tam thức bậc 2 tổng quát được thể hiện qua bảng sau:
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai (a^{2}+bx+c)
Ta có:
- (a^{2}+bx+c>0,forall xin mathbb{R} Leftrightarrow left{begin{matrix} a >0 Delta <0 end{matrix}right.)
- (a^{2}+bx+cgeq 0,forall xin mathbb{R} Leftrightarrow left{begin{matrix} a >0 Delta leq 0 end{matrix}right.)
- (a^{2}+bx+c<0,forall xin mathbb{R} Leftrightarrow left{begin{matrix} a <0 Delta <0 end{matrix}right.)
- (a^{2}+bx+cleq 0,forall xin mathbb{R} Leftrightarrow left{begin{matrix} a <0 Delta leq 0 end{matrix}right.)
Định lý về dấu của tam thức bậc 2
Định lý về dấu của tam thức bậc 2 được minh họa bằng đồ thị như sau:
Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
Với định lý thuận về dấu của tam thức bậc 2 là “Trong trái, ngoài cùng”
Có: (f(x)=ax^{2}+bx+c (aneq 0))
Gọi (x_{1},x_{2}) là nghiệm của f(x)=0 thì: (S=x_{1}+x_{2}=frac{-b}{a};P=x_{1}.x_{2}=frac{c}{a})
Với 3 trường hợp: (Delta <0;Delta =0;Delta >0)
Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2
Cho tam thức bậc hai (f(x)=ax^{2}+bx+c (aneq 0)). Nếu có số (alpha) thỏa mãn (af(alpha) <0) thì f(x) có hai nghiệm phân biệt (x_{1},x_{2}) và (x_{1}<alpha <x_{2})
Các bài tập về dấu của tam thức bậc hai
So sánh nghiệm với 1 số cho trước
- (x_{1}<alpha <x_{2}Leftrightarrow af(alpha )<0)
- (alpha <x_{1} <x_{2}Leftrightarrow left{begin{matrix} Delta >0 af(alpha )>0 frac{S}{2}-alpha >0 end{matrix}right.)
- (x_{1} <x_{2}<alpha Leftrightarrow left{begin{matrix} Delta >0 af(alpha )>0 frac{S}{2}-alpha <0 end{matrix}right.)
- (alpha notin x_{1} ;x_{2} Leftrightarrow left{begin{matrix} Delta >0 af(alpha )>0 end{matrix}right.)
So sánh nghiệm với 2 số cho trước (alpha <beta)
- (x_{1}<alpha <beta <x_{2}Leftrightarrow left{begin{matrix} af(alpha)<0 af(beta)<0 end{matrix}right.)
- (x_{1}<alpha <x_{2}<beta Leftrightarrow left{begin{matrix} af(alpha)<0 af(beta)>0 end{matrix}right.)
- (alpha<x_{1} <beta<x_{2} Leftrightarrow left{begin{matrix} af(alpha)>0 af(beta)<0 end{matrix}right.)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng ((alpha ,beta )) khi (f(alpha) .f(beta )<0)
Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R
Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R hoặc 1 miền cho trước, ta giải như sau:
- (f(x)>0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{begin{matrix} a>0 Delta <0 end{matrix}right.)
- (f(x)<0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{begin{matrix} a<0 Delta <0 end{matrix}right.)
- (f(x)geq 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{begin{matrix} a>0 Delta leq 0 end{matrix}right.)
- (f(x)leq 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{begin{matrix} a<0 Delta leq 0 end{matrix}right.)
Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm
- Nếu có (alpha) sao cho (af(alpha )<0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Nếu có 2 số (alpha ,beta) sao cho (f(alpha) ,f(beta )< 0) thì phương trình (f(x)=0) có nghiệm
- Nếu có 2 số (alpha ,beta) sao cho (f(alpha) ,f(beta )< 0), (aneq 0) thì phương trình (f(x)=0) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải và biện luận phương trình qua lập bảng
Sử dụng phương pháp lập bảng xét dấu:
Ví dụ: Bài 2 (trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu biểu thức: (f(x)=(4x^{2}-1)(-8x^{2}+x-3)(2x+9))
Cách giải:
Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.COM.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức hữu ích liên quan đến chủ đề dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang
Tu khoa lien quan
- tam thức bậc 2 lớp 8
- nghiệm của tam thức bậc 2
- bài tập về dấu của tam thức bậc 2
- tìm m để tam thức đổi dấu 2 lần
- dấu của tam thức bậc 2 nâng cao
- chuyên đề dấu của tam thức bậc 2
- giáo án dấu của tam thức bậc hai
- cách xét dấu tam thức bậc 2 nhanh
- dấu của tam thức bậc 2 chứa tham số
- kiến thức dấu của nhị thức bậc nhất
- tìm m để bất phương trình luôn dương
- điều kiện để phương trình bậc 2 lớn hơn 0
- điều kiện để bất phương trình bậc 2 vô nghiệm
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
(Nguồn: www.youtube.com)
