Bất đẳng thức là gì? Các bất đẳng thức đáng nhớ và quan trọng – Các tính chất chính của bất đẳng thức

Or you want a quick look: Lý thuyết bất đẳng thức? Bất đẳng thức đáng nhớ

Bất đẳng thứ đáng nhớ là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán cho các em học sinh. Việc nắm được bất đẳng thức là gì, các bất đẳng thức Cosi (AM-GM), bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Schwarz… sẽ giúp các em tìm được lời giải cho các bài toán. Cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu các kiến thức về bất đẳng thức đáng nhớ trong bài viết dưới đây!

Lý thuyết bất đẳng thức? Bất đẳng thức đáng nhớ

Định nghĩa bất đẳng thức là gì?

Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng, với hai đối tượng là các biểu thức chứa các số và các phép toán.

Biểu thức phía bên trái dấu bất đẳng thức được gọi là vế trái, biểu thức phía bên phải được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Định nghĩa bất đẳng thức tuyệt đối là gì?

Khi một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện.

Khi một bất đẳng thức đúng với một số giá trị nào đó của biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng, sẽ vẫn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương.

Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó thực hiện nhân hay chia bởi một số âm. Đây là những kiến thức cơ bản nhưng quan trọng cho các bất đẳng thức đáng nhớ.

ĐỊnh nghĩa 1: Quan hệ bất đẳng thức nghiêm ngặt

Số thực a được gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu a > b khi a – b là một số dương, tức là (a-b>0), hay còn có thể ký hiệu b < a

Ta có: (a>bLeftrightarrow a-b>0)

Trường hợp nếu a > b hoặc a = b, có thể ký hiệu là (ageq b).

Ta có: (ageq bLeftrightarrow a-bgeq0)

Định nghĩa 2

Giả sử A và B là hai biểu thức ( biểu thức có thể bằng số hoặc chứa biến )

Ta có Mệnh đề: “A lớn hơn B”, kí hiệu (A>B)

“A nhỏ hơn B”, ký hiệu (A<B)

“A nhỏ hơn hoặc bằng B”, ký hiệu (A leq B)

“A lớn hơn hoặc bằng B”, ký hiệu (A geq B)

được gọi là một bất đẳng thức.

Quy ước: – Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.

• Chứng minh một bất đẳng thức chính là việc đi chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

Các dạng bài toán thường gặp trong chuyên đề bất đẳng thức là:

• Bài toán chứng minh bất đẳng thức.
• Bài toán giải bất phương trình ( Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng).
• Bài toán tìm cực trị (Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến.

Bất đẳng thức cơ bản với Số thực dương, số thực âm

Với a là số thực dương, ta kí hiệu a > 0

Với a là số thực âm, ta kí hiệu a < 0

a là số thực dương hoặc a = 0, ta nói a là số thực không âm và ký hiệu (ageq 0)

a là số thực âm hoặc a = 0, ta nói a là số thực không dương và ký hiệu (aleq 0)

Đối với hai số thực a, b, chỉ có thể xảy ra một trong ba khả năng:

a > b, a < b hoặc a = b

Phủ định của mệnh đề “(a>0)” là mệnh đề “(aleq 0)”

Phủ định của mệnh đề “(a<0)” là mệnh đề “(ageq 0)”

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

• Tính chất 1: Tính chất bắc cầu

Với mọi số thực a, b, c Ta có: (left{begin{matrix} a & > &b b & > & c end{matrix}right. Rightarrow a>c)

• Tính chất 2: Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ hai vế của một số

Tính chất này được phát biểu như sau: Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực

Quy tắc cộng hai vế với một số: (a>b Leftrightarrow a+c>b+c)

Trừ hai vế với cùng một số: (a>b Leftrightarrow a-c>b-c)

Hệ quả 1: Chuyển vế : (a+c>bLeftrightarrow a>b-c)

• Tính chất 3: Quy tắc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

 (left{begin{matrix} a & > & b c& > & d end{matrix}right.Rightarrow a+c > b+d)

• Tính chất 4: Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia hai vế của một bất đẳng thức

Tính chất này được phát biểu như sau:

Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chia)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực.

Quy tắc nhân hai vế với cùng một số: (a>b Leftrightarrow left{begin{matrix} ac &> &bc (c> 0) ac & < & bc( c<0) end{matrix}right.)

Quy tắc chia hai vế với cùng một số: (a>b Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{a}{c} &> &frac{b}{c} (c> 0) frac{a}{c} & < & frac{b}{c}( c<0) end{matrix}right.)

Hệ quả 2: Quy tắc đổi dấu hai vế: (a>bLeftrightarrow -a<-b)

• Tính chất 5: Quy tắc nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều: (left{begin{matrix} a & > & b & > & 0 c& > & d & > & 0 end{matrix}right. Rightarrow ac>bd)
• Tính chất 6: Quy tắc nghịch đảo hai vế: (a>b>0 Leftrightarrow 0<frac{1}{a} <frac{1}{b})
• Tính chất 7: Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc n: (a>b>0, nin N* Rightarrow a^{n}>b^{n})
• Tính chất 8: Quy tắc khai căn bậc n: (a>b>0, nin N* Rightarrow sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b})

Hệ quả: Quy tắc bình phương hai vế

Nếu a và b là hai số dương thì: (a>bLeftrightarrow a^{2}>b^{2})

Nếu a và b là hai số không âm thì: (ageq bLeftrightarrow a^{2}geq b^{2})

Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối

Tính chất của bất đẳng thức đáng nhớ này được tóm tắt dưới đây:

(left | a right |geq 0, left | a right |^{2}=a^{2}, a<left | a right |, -aleq left | a right |)

Với mọi a, b thuộc R, ta có:

• (left | a+b right |leq left | a right |+left | b right |)
• (left | a-b right |leq left | a right |+left | b right |)
• (left | a+b right |=left | a right |+left | b right |Leftrightarrow abgeq 0)
• (left | a-b right |=left | a right |+left | b right |Leftrightarrow ableq 0)

Bất đẳng thức trong tam giác là gì?

Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có:

• (a>0, b>0,c>0)
• (left | b-c right |<a<b+c)
• (left | c-a right |<b<c+a)
• (left | a-b right |<c<a+b)
• (a>b>c Rightarrow A>B>C)

Hàm đơn điệu và bất đẳng thức

Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm), ta có thể biến đổi hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt, mà kết quả bất đẳng thức  vẫn đúng. Và ngược lại, nếu đưa vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng.

Nghĩa là:

• Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt (a leq b) (hoặc (a geq b)), có hai trường hợp:
  • Khi f(x) là hàm đơn điệu tăng thì (f(a) leq f(b)) (hoặc (f(a) geq f(b)) (không đảo chiều).
  • Khi f(x) là hàm đơn điệu giảm thì (f(a) geq f(b)) (hoặc (f(a) leq f(b)) (đảo chiều).
• Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a < b (hoặc a > b), cũng có hai trường hợp:
  • Khi f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì (f(a) < f(b)) (hoặc (f(a) > f(b))) (không đảo chiều).
  • Khi f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì (f(a) > f(b)) (hoặc (f(a) < f(b))) (đảo chiều).

Bất đẳng thức kép là gì? 

Ký hiệu (a<b<c)  có nghĩa là a < b và b < c, theo tính chất bắc cầu, suy ra a < c.

Dễ thấy, cũng bằng các tính chất ở trên, có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác 0, và tùy vào dấu của số nhân/chia đó mà có đảo chiều bất đẳng thức hay không.

***Chú ý: chỉ có thể thực hiện điều trên với cùng một số, tức là (a<b+e<c Leftrightarrow a-e<b<c-e)

Tổng quát hơn, bất đẳng thức kép có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn (a_{1}leq a_{2} leq … leq a_{n}) có nghĩa là (a_{i}leq a_{i+1})  với i = 1, 2, 3,…,n-1. Tương đương với (a_{i}leq a_{j}forall 1 leq ileq j leq n)

Đôi khi, kiểu ký hiệu bất đẳng thức ghép được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau. Ví dụ:  (a<b>c leq d) có nghĩa là a < b, b > c và (cleq d)

Trong toán học thường ít dùng kiểu ký hiệu này, còn trong ngôn ngữ lập trình, chỉ có một ít ngôn ngữ như Python cho phép dùng loại ký hiệu này.

Khi gặp phải các đại lượng mà không thể tìm được hoặc không dễ dàng tìm được công thức tính chính xác, các nhà toán học  thường dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng tầm giá trị mà các đại lượng đó có thể có.

Bất đẳng thức Cosi (hay Bất đẳng thức AM-GM )

Bất đẳng thức Cosi là gì? Định nghĩa BĐT Cosi trong toán học

Bất đẳng thức Cosi, hay bất đẳng thức AM-GM thực chất là một bất đẳng thức đáng nhớ chỉ mối quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Đây là một trong các bất đẳng thức đáng nhớ được dùng nhiều nhất trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở chương trình toán trung học phổ thông.

Bất đẳng thức AM-GM là tên đúng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cosi (Cauchy). Do vậy, nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này.  Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Cosi có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means).

Trong toán học, bất đẳng thức Cosi  là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực  không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

• Đối với trường hợp 2 số thực không âm và 3 số thực không âm:

• Và tổng quát với n số thực không âm: (x_{1,}, x_{2}, x_{3},…x_{n}), ta có:

(frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}geq sqrt[n]{x_{1}x_{2}…x_{n}})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x_{1}= x_{2}=…=x_{n})

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào giải toán

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki. Với bất đẳng thức đáng nhớ này, bạn cần nắm được các kiến thức sau: 

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Cho hai dãy số thực (a_{1},a_{}2,…a_{n}) và (b_{1},b_{}2,…b_{n}) Ta có:

((a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}…+b_{n}^{2}))

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (frac{a_{1}}{b_{1}}=frac{a_{2}}{b_{2}}=…=frac{a_{n}}{b_{n}})

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Cho hai dãy số thực (a_{1},a_{}2,…a_{n}) và (b_{1},b_{}2,…b_{n}) Ta có:

(frac{a_{1}^{2}}{b_{2}}+frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+…+frac{a_{n}^{2}}{b_{n}}geq frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}^{2}{b_{1}+b_{2}+…+b_{n}})

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (frac{a_{1}}{b_{1}}=frac{a_{2}}{b_{2}}=…=frac{a_{n}}{b_{n}})

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào giải toán

Bất đẳng thức Holder là gì?

Bất đẳng thức Holder (được đặt theo tên nhà toán học Đức Otto Holder), là một bất đẳng thức đáng nhớ liên quan đến các không gian (L^{p}) được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian (L^{p})

Với m dãy số dương ((a_{1,1},a_{1,2},…,a_{1,n}), (a_{2,1},a_{2,2},…,a_{2,n})…(a_{m,1},a_{m,2},…,a_{m,n})) Ta có:

(prod_{i=1}^{m}left ( sum_{j=1}^{n} a_{i,j}right )geq left ( sum_{j=1}^{n} sqrt[m]{prod_{i=1}^{m}}a_{i,j}right )^{m})

Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ.

Bất đẳng thức Cauchy – Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m=2.

Bất đẳng thức Minkowski (Mincopxki)

Như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các không gian Lp là các không gian vector định chuẩn.

Bất đẳng thức Minkowski là một bất đẳng thức đáng nhớ với công thức cụ thể như sau:

Cho hai dãy số thực (a_{1},a_{2},…,a_{n}) và (b_{1},b_{2},…,b_{n}) Ta có:

(sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+…+sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}geq sqrt{(a_{1}+a_{2}+…+a_{n})^{2}+{}}(b_{1}+b_{2}+…+b_{n})^{2})

Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng:

Cho hai dãy số thực (a_{1},a_{2},…,a_{n}) và (b_{1},b_{2},…,b_{n}) Ta có:

(sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n}}+sqrt[n]{b_{1}b_{2}…b_{n}}leq sqrt[n]{(a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})…(a_{n}+b_{n})})

Dấu “=” của bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy – Schwarz

Bất đẳng thức Schwarz là gì?

Bất đẳng thức Schawarz còn được gọi là Bất đẳng thứ Cauchy, Bất đẳng thức Cauchy Schwarz, Bất đẳng thức Cauchy-Buyakovski-Schwarz. Bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovski–Schwarz, được đặt theo tên của ba nhà toán học nổi tiếng Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz.

Đây là một bất đẳng thức đáng nhớ thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn  dùng cho các vector trong đại số tuyến tính, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai.

Cho hai dãy số thực (a_{1},a_{2},…,a_{n}) và (b_{1},b_{2},…,b_{n}) với (b_{i}geq 0) Ta có:

(frac{a_{1}^2}{b_{1}}+ frac{a_{2}^2}{b_{2}}+…+ frac{a_{m}^2}{b_{m}} geq frac{(a_{1}+a_{2}+…+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+…+b_{m}})

Bất đẳng thức Chebyshev là gì?

Bất đẳng thức cộng Chebyshev cũng là một bất đẳng thức đáng nhớ và quan trọng. Nó được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev:

• (left{begin{matrix} a_{1} & geq &a_{2}geq & … &geq & a_{n} b_{1} & geq &b_{2}geq & … &geq & b_{n} end{matrix}right.)

Suy ra: (frac{1}{n}sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}geqleft ( frac{1}{n}sum_{k=1}^{n}a_{k} right )left ( frac{1}{n}sum_{k=1}^{n}b_{k} right ))

• (left{begin{matrix} a_{1} & geq &a_{2}geq & … &geq & a_{n} b_{1} & leq &b_{2}leq & … &leq & b_{n} end{matrix}right.)

=> (frac{1}{n}sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}leqleft ( frac{1}{n}sum_{k=1}^{n}a_{k} right )left ( frac{1}{n}sum_{k=1}^{n}b_{k} right ))

Trên đây là tổng hợp những kiến thức về các bất đẳng thức cơ bản và quan trọng nhất. Hi vọng bài viết trên của DINHNGHIA.COM.VN đã giúp bạn nắm được bất đẳng thức là gì? Công thức của bất đẳng thức Cosi, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Schwarz… Nếu có bất cứ đóng góp gì hay có câu hỏi nào liên quan đến bài viết các bất đẳng thức đáng nhớ, mời bạn để lại nhận xét để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

Xem thêm: Vuidulich.vn cũng giúp giải đáp những vấn đề sau đây: