Or you want a quick look: Chuyển đổi ma trận
Ma trận chuyển vị và ma trận đối xứng được liên kết với nhau - trên thực tế, định nghĩa của ma trận đối xứng là phép chuyển vị của ma trận đối xứng A trả về cùng một ma trận A.
Bạn đang xem: Ma trận chuyển vị là gì
Đây là phần tiếp theo của loạt bài đại số tuyến tính của tôi, gắn liền với khóa học 18.06 MIT OCW Gilbert Strang về đại số tuyến tính nhập môn. Hãy bắt đầu ngay với những điều cơ bản về chuyển vị.
Chuyển đổi ma trận
Chúng tôi hoán vị ma trận hai chiều bằng cách sử dụng các hàng dưới dạng cột hoặc ngược lại, vì đó là các cột dưới dạng hàng. Đó là tất cả những gì cần thiết để thực hiện thao tác đơn giản.
Chính xác hơn, các mục trong một vị trí ij trở thành mục trong aji vị trí. Cụ thể, hãy xem e thay đổi như thế nào từ vị trí (3, 1) sang vị trí (1, 3). Tất cả đều ổn, nhưng còn việc hoán vị tổng hoặc tích của các ma trận thì sao?
Hoán vị tổng các ma trận
Chuyển đổi tổng (và mở rộng, hiệu) của ma trận là khá dễ dàng. Chúng tôi chỉ có thể "phân phối" sự chuyển vị cho cả hai số.
Điều này, một lần nữa, có ý nghĩa khá hợp lý và không cần phải được chứng minh là đúng. Ở phía bên trái, chúng tôi thêm hai ma trận và sau đó chuyển đổi tổng. Ở bên phải, chúng tôi chuyển đổi chúng bổ sung và thêm chúng. Những con số giống nhau vẫn đang được cộng với nhau, vì vậy kết quả cuối cùng là như nhau. Một ví dụ cụ thể:
Cả hai cách cộng đều tương đương nhau. Chúng ta thường phải đơn giản hóa các phép chuyển vị trong phương trình ma trận, vì vậy hãy lưu ý điều này.
Chuyển đổi một sản phẩm của ma trận
Đây là cách khó hiểu bằng trực giác hơn là tổng kết. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta chuyển đổi một tích AB.
Nếu bạn quen thuộc về nghịch đảo của một sản phẩm, chúng tôi tính toán nó giống hệt nhau - chúng tôi hoán vị cả hai sản phẩm nhưng đảo ngược thứ tự. Thật khó để nhìn vào cái này và xem tại sao nó hoạt động, vì vậy chúng ta hãy đi vào chi tiết của phép nhân ma trận để hiểu tại sao điều này xảy ra.
Hãy xem xét cùng một hệ thống này với một ví dụ cụ thể.
Hãy xem hàng đầu tiên của ma trận kết quả của chúng ta đến từ đâu. Đi ngược lại từ cuối, chúng ta thấy rằng hàng này thực sự là một cột trước khi nó được chuyển vị. Cột này lấy từ hàng đầu tiên và hàng thứ hai của A nhân với cột đầu tiên của B. Chúng ta có thể nói rằng hàng đầu tiên của kết quả của chúng ta là tích của các hàng của A với cột đầu tiên của B.
Giả sử chúng ta đã hoán vị A và B trước khi nhân chúng. Làm thế nào chúng ta sẽ tìm ra một cách để giữ nguyên phép tính này (các hàng của A bằng cột đầu tiên của B)? Hãy làm điều này và xem làm thế nào.
Đánh dấu là các hàng giống nhau của A (bây giờ là cột của A) và cột đầu tiên của B (bây giờ là hàng đầu tiên của B) Cần được nhân lên để có hàng đầu tiên của B. Chúng ta sẽ phải nhân chúng theo thứ tự nào để lấy hàng đầu tiên của sản phẩm? Vâng, tất nhiên sẽ là:
Chúng tôi bảo toàn phép nhân giống hệt nhau, và do đó nhận được cùng một sản phẩm cho hàng đầu tiên. Do đó, quy tắc của chúng tôi, đã nêu trước đó, đã được sửa chữa.
Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng, như đã nói ở trên, là ma trận mà sau khi được hoán vị, chúng giống hệt nhau. Chính thức:
Theo định nghĩa trước đây của chúng tôi về hoán vị là gì, rằng khi được hoán vị, một số mục trong hàng i và cột j (aij) sẽ trở thành một mục trong hàng j và cột i (aij). Do đó, trong một ma trận đối xứng, aij phải = aji với mọi aji. Nhìn vào một ví dụ về ma trận đối xứng, điều này là hiển nhiên.
Xem thêm: Hồ Điều Hòa Là Gì ? Những Dự Án Chung Cư Có Hồ Điều Hoà Tại Hà Nội
Các cặp đã hoán đổi chỉ mục. Ví dụ, số 13 trong hàng đầu tiên là chỉ mục (1, 3). Số 13 trong cột đầu tiên là (3, 1) Một mẹo hay để phát hiện các ma trận đối xứng là chúng trông được phản chiếu dọc theo đường chéo. Trên thực tế, ma trận đối xứng xuất hiện khá nhiều. Chúng đẹp và gọn gàng cho nhiều phép tính khác nhau. Hãy cùng tìm hiểu thêm một vài tính chất của ma trận đối xứng.
Nghịch đảo của ma trận đối xứng cũng là đối xứng
Thuộc tính này thoạt đầu có vẻ hơi khác thường, nhưng chúng ta có thể rất nhanh chóng chứng minh điều này bằng cách thay đổi một chút công thức cho ma trận đối xứng.
Nếu A đã là đối xứng, vì vậy A = A (T), nghịch đảo của chúng cũng phải như vậy, bởi vì:
Lấy nghịch đảo của cả hai bên (cả hai bên để giữ bằng nhau) chúng ta nhận được phát biểu thứ hai, trong đó về cơ bản chúng ta nói rằng chuyển vị của nghịch đảo bằng với nghịch đảo. Thuộc tính này thường có ích.
Sản phẩm của Ma trận và Transpose của nó là Đối xứng
Tích của bất kỳ ma trận nào (vuông hoặc chữ nhật) và chuyển vị của nó luôn là đối xứng. Trong ký hiệu dễ hiểu hơn, đó là:
Rất dễ để chứng minh nhưng khó tin cho đến khi bạn thực sự làm được , đó là lúc nó trở nên khá rõ ràng. Hãy làm một trường hợp cụ thể trước và sau đó chứng minh nó bằng ký hiệu ma trận (dễ dàng) sau đó.
Thực hiện phép nhân này để thực sự hiểu tại sao chúng ta lại nhận được bảy ở góc. Nói một cách dễ hiểu, đối với 7 người hàng đầu, chúng tôi đang nhân (1, 2) với (3, 2) và đối với 7 người dưới cùng, chúng tôi nhân (3, 2) với (1, 2), cùng một sản phẩm. Ý tưởng này có thể dễ dàng mở rộng thành nhiều mục đối xứng - chúng tôi chỉ nhân một số hàng trong A chuyển vị (a, b, c…. Z) với một cột (z, y, z… a) trong A, và sau đó, nhân một số hàng trong A hoán vị (z, y, z… a) với một số cột trong A (a, b, c…. z), sẽ cho hai câu trả lời giống nhau.
Hãy nhanh chóng chứng minh điều này với sự trợ giúp của quy tắc "chuyển vị của các sản phẩm" mà chúng ta đã học. Hãy nhớ rằng, bài kiểm tra tính đối xứng là lấy phép chuyển vị và xem nó có trả lại điều tương tự hay không.
Ở đây, nếu chúng ta lấy sản phẩm chuyển vị của mình, chúng ta sẽ nhận được sản phẩm tương tự, nghĩa là chuyển vị A * A của chúng ta là đối xứng.
Chúng tôi đã đề cập đến nó như một cảnh báo nhỏ, nhưng chúng tôi nhận được một ma trận đối xứng, nhưng khác biệt, nếu chúng tôi hoán đổi thứ tự của chuyển vị và ban đầu. Ví dụ: với ma trận nonsquare:
Chúng tôi thấy rằng các sản phẩm của chúng tôi khác nhau - heck, chúng có kích thước khác nhau! Nhưng, cả hai đều đối xứng. Kết quả phần tử đơn của chúng ta ở bên trái vẫn là đối xứng, vì chuyển vị của vô hướng 10 chỉ là 10.
Loại bỏ Gaussian Điều gì sẽ xảy ra nếu A trong A = LDU là đối xứng?
Nếu bạn không quen với việc loại bỏ gaussian, vui lòng bỏ qua phần này. Nếu bạn đã quen với việc loại bỏ nhưng không phải A = LU hoặc A = LDU thừa số hóa, hãy xem bài viết cuối cùng của tôi trong các bài thu nhỏ về Loại bỏ Gaussian của tôi.
Hướng dẫn đầy đủ để loại bỏ GaussianỞ đây, chúng ta đang giải quyết khả năng ma trận hệ số A của chúng ta là đối xứng. Có cách nào chúng ta có thể đưa ra ma trận tam giác dưới và trên A = U trong A = LDU một cách nhanh hơn không?
Vâng, nếu A là đối xứng hoặc A (T) = A, thì
Vì vậy, việc tìm ma trận U của chúng ta thậm chí còn dễ dàng hơn, và chúng ta không phải lo lắng về việc thực hiện điều khó khăn khi chúng ta chia U ra để chúng ta có thể có ma trận D chứa các trục và U chỉ có 1 dọc theo đường chéo. Ví dụ, hãy tính ma trận 2 x 2 A và phân tích nhân tử thành LDL (T).
Vậy là xong - đó là tất cả những gì cần biết về phép chuyển vị và ma trận đối xứng trong khóa học bắt đầu cơ bản về đại số tuyến tính.
Cảm ơn vì đã đọc!
Adam Dhalla là một học sinh trung học ở Vancouver, British Columbia. Anh ấy rất thích thế giới ngoài trời và hiện đang tìm hiểu về các công nghệ mới nổi vì mục đích môi trường. Để theo kịp,
Theo dõi I nstagram và LinkedIn của anh ấy . Để biết thêm nội dung tương tự, hãy đăng ký nhận bản tin của anh ấy tại đây.
Japanese Spanish German French Thai Portuguese Russian Vietnamese Italian Korean Turkish Indonesian Polish Hindi
Lần đầu tiên tôi lên máy bay, tôi sẽ đến Istanbul từ New York. Tôi rất lo lắng và đang kiểm tra mọi thứ về chuyến bay của mình.
Sử dụng các công cụ, nền tảng và khuôn khổ MLOps mã nguồn mở hàng đầu, chẳng hạn như các công cụ được đánh dấu trong bài viết này, bạn có thể tận dụng khả năng mở rộng và tính linh hoạt do MLOps cung cấp trong quy trình công việc Học máy của mình. Bài viết này ban đầu được xuất bản trên The Chief I / O: Top 10 Open Source MLOps Tools MLOps đề cập đến việc sử dụng kết hợp DevOps và Machine Learning để tạo ra hệ thống tự động hóa, theo dõi, tổng hợp, giám sát và đóng gói mạnh mẽ cho các mô hình Machine Learning.
Rust cần một prng phi mã hóa tốt hơn cho thùng rand của nó. Đây là lời giải thích về cách tôi đã thiết kế một cái.
Khi tôi nhắm mắt và quay ngược thời gian, tôi thấy một sinh viên đại học đang ngồi ở hàng ghế sau và trông buồn bã trong khi vị giáo sư đang đứng cạnh chiếc bảng đen, viết các định nghĩa toán học lên đó bằng phấn. Tiếng click, click, click vẫn rõ ràng mỗi khi giáo sư viết lên bảng.
Tất cả chúng ta đều học cách nhân hai số khi còn nhỏ. Trong trường hợp chúng ta quên (
