Chuyên đề Các dạng đồ thị hàm số cơ bản và nâng cao [TỔNG HỢP]

Đồ thị hàm số là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 và THPT. Vậy đồ thị hàm số là gì? Các dạng đồ thị hàm số lớp 12? Các dạng đồ thị hàm số bậc 2, bậc 3? Lý thuyết và bài tập về các dạng đồ thị hàm số logarit?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!. 

Đồ thị hàm số là gì?

Đồ thị của một hàm số là sự biểu diễn trực quan sinh động các giá trị của hàm số đó trong hệ tọa độ Descartes.

Hệ tọa độ Descartes gồm có ( 2 ) trục:

• Trục ( Ox ) nằm ngang , biểu diễn giá trị của biến số ( x )
• Trục ( Oy ) thẳng đứng, biểu diễn giá trị của hàm số ( f(x) )

Cách nhận dạng đồ thị hàm số

Các dạng đồ thị hàm số cơ bản

Các dạng đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng :

( y= ax +b )

Đồ thị hàm số là một đường thẳng, tạo với trục hoành một góc ( alpha ) thỏa mãn ( tan alpha = a )

• Trường hợp 1: ( a>0 )

• Trường hợp 2: ( a <0 )

• Trường hợp 3: ( a=0 )

Đồ thị hàm số song song hoặc trùng trục hoành.

Các dạng đồ thị hàm số bậc 2

Hàm số bậc 2 là hàm số có dạng :

( y= ax^2 + bx +c ) với ( a neq 0 )

• Trường hợp ( a > 0 )

Các dạng đồ thị hàm số bậc 3

Hàm số bậc ( 3 ) là hàm số có dạng :

(y= ax^3+bx^2+cx+d )  với ( a neq 0 )

Dưới đây là các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 theo từng trường hợp 

• Trường hợp 1: Phương trình ( y’=0 ) có hai nghiệm phân biệt

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và có hình dạng như sau:

• Trường hợp 2: Phương trình ( y’=0 ) có một nghiệm kép

Khi đó đồ thị hàm số không có điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn song song với trục hoành.

• Trường hợp 3: Phương trình ( y’=0 ) vô nghiệm

Khi đó đồ thị hàm số không có điểm cực trị nhưng tiếp tuyến tại điểm uốn không song song với trục hoành.

Các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc ( 4 ) trùng phương là hàm số có dạng :

( y= ax^4 + bx^2 +c ) với ( a neq 0 )

• Trường hợp 1 : Phương trình ( y’=0 ) có ( 3 ) nghiệm phân biệt 

Khi đó đồ thị hàm số có ( 3 ) điểm cực trị.

• Trường hợp 2: Phương trình ( y’=0 ) có duy nhất ( 1 ) nghiệm

Khi đó đồ thị hàm số có ( 1 ) điểm cực trị và có hình dáng giống với đồ thị Parabol.

Các dạng đồ thị hàm số Logarit

Hàm số Logarit là hàm số có dạng:

( y= log_ax ) với (left{begin{matrix} a>0a neq 1 end{matrix}right.) và ( x>0 )

Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung. Tùy vào giá trị của ( a ) mà ta có hai dạng đồ thị.

Các dạng toán đồ thị hàm số lớp 9

Dạng toán đường thẳng với đường thẳng

Trong hệ tọa độ ( Oxy ) cho hai đường thẳng ( y= a_1x+b_1 ) và ( y=a_2x+b_2 ). Khi đó vị trí tương đối hai đường thẳng như sau :

• Hai đường thẳng song song : (Leftrightarrow left{begin{matrix} a_1=a_2b_1 neq b2 end{matrix}right.)
• Hai đường thẳng trùng nhau: (Leftrightarrow left{begin{matrix} a_1=a_2b_1 = b2 end{matrix}right.)
• Hai đường thẳng cắt nhau : (Leftrightarrow a_1 neq a_2)

Khi đó hoành độ giao điểm của hai đường thẳng sẽ là nghiệm của phương trình:

( a_1x+b_1=a_2x+b_2  Leftrightarrow x= frac{b_2-b_1}{a_1-a_2}  ) 

Ví dụ:

Trong mặt phẳng ( Oxy ) cho ba đường thẳng :

( a: y=2x+1 ) ; ( b : y=-x +4 ) ; ( c: y=mx -2 )

Tìm giá trị của ( m ) để ba đường thẳng trên đồng quy

Cách giải:

Gọi ( A ) là giao điểm của hai đường thẳng ( a ) và ( b ). Khi đó hoành độ của ( A ) là nghiệm của phương trình :

(2x+1=-x+4 Leftrightarrow 3x=3 Leftrightarrow x=1)

Vậy (Rightarrow A(1;3))

Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng ( c ) phải đi qua điểm ( A(1;3) )

Thay vào ta được :

(3=m-2 Rightarrow m=5)

Dạng toán đường thẳng với Parabol

Trong chương trình toán lớp 9 chúng ta chỉ học về đồ thị hàm số bậc ( 2 ) dạng : ( y=ax^2 ). Đây là hàm số đối xứng qua trục tung và chỉ nằm về một phía so với trục hoành.

Trong hệ tọa độ ( Oxy ) cho đường thẳng ( y= ax+b) và Parabol ( y=kx^2 ). Khi đó vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng như sau:

• Đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt (Leftrightarrow) phương trình (kx^2=ax+b) có hai nghiệm phân biệt.
• Đường thẳng tiếp xúc với Parabol (Leftrightarrow) phương trình (kx^2=ax+b) có một nghiệm kép.
• Đường thẳng không cắt Parabol (Leftrightarrow) phương trình (kx^2=ax+b) vô nghiệm.

Ví dụ:

Trong hệ tọa độ ( Oxy ) cho đường thẳng ( y= x+6 ) và Parabol ( y=x^2 ). Tìm giao điểm của đường thẳng và Parabol

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là nghiệm của phương trình

(x^2=x+6 Leftrightarrow x^2-x-6=0)

(Leftrightarrow (x-3)(x+2)=0)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=3 x=-2end{array}right.)

Thay vào ta được giao điểm của đường thẳng và Parabol là hai điểm ( (3;9) ; (-2;4) )

Các dạng toán đồ thị hàm số 12

Các dạng toán khảo sát đồ thị hàm số

Các bước chung để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( y= f(x) )

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
  • Tìm tập hợp các giá trị thực của ( x ) để hàm số có nghĩa

• Bước 2. Sự biến thiên
  • Xét chiều biến thiên của hàm số
    • Tính đạo hàm ( y’ )
    • Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm ( y’=0 ) hoặc không xác định.
  • Xét dấu đạo hàm ( y’ ) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
  • Tìm cực trị
    • Tìm các điểm cực đại , cực tiểu ( nếu có ) của hàm số
  • Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực. Từ đó tìm các tiệm cận (nếu có) cùa hàm số
  • Lập bảng biến thiên
    • Thể hiện đầy đủ các phần 2a) 2b) 2c) trên bảng biến thiên.
• Bước 3. Đồ thị
  • Tìm tọa độ một số điểm thuộc đồ thị hàm số
    • Tọa độ giao của đồ thị hàm số với trục ( Ox ; Oy) (nếu có); các điểm cực trị (nếu có); điểm uốn (nếu có);… và một số điểm khác.
  • Vẽ đồ thị
    • Lưu ý đến tính đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục) của đồ thị để vẽ cho chính xác và đẹp.
  • Nhận xét một số điểm đặc trưng của đồ thị: Tùy vào từng loại hàm số sẽ có những đặc điểm cần lưu ý riêng.

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( y= -x^3+3x^2-4 )

Cách giải:

Tập xác định : (D = mathbb{R})

Chiều biến thiên :

Ta có đạo hàm ( y’=-3x^2+6x )

(y’=0 Leftrightarrow 3x(x-2)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=0 x=2end{array}right.)

(lim_{xrightarrow + infty} y =-infty) ; (lim_{xrightarrow – infty} y = +infty)

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

• Hàm số đồng biến trên khoảng ( (0;2) ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ((-infty; 0) ; (2;+infty))
• Hàm số đạt cực đại tại điểm ( x=2 ). Giá trị cực đại là ( y=0 )
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ( x=0 ). Giá trị cực đại là ( y=-4 )

Đồ thị:

Ta có: (y”=-6x+6) nên (y”=0Leftrightarrow x=1)

(Rightarrow I(1;-2)) là điểm uốn ( tâm đối xứng ) của đồ thị hàm số

Hàm số cắt trục hoành tại hai điểm ( (-1;0);(2;0) )

Hàm số cắt trục tung tại điểm ( (0;-4) )

Ta có đồ thị hàm số:

Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho ( (C) ) là đồ thị của hàm số ( y=f(x) ) và điểm ( M(x_0;y_0) ) nằm trên ( (C) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của ( (C) ) tại điểm ( M ) là :

( y=f’(x_0).(x-x_0) + f(x_0) )

Khi đó, ( f’(x_0) ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại ( M(x_0;y_0) )

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước tiếp điểm

Đây là dạng bài cơ bản, chúng ta áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến là có thể giải được một cách nhanh chóng

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số ( y=x^3+2x^2 ) tại điểm ( M(1;3) )

Cách giải:

Đạo hàm ( y’= 3x^2 +4x )

Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến ta được phương trình tiếp tuyến :

( y=(3+4)(x-1)+3 Leftrightarrow y=7x-4 )

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước hệ số góc ( k )

Với dạng bài này, do hệ số góc ( k= f’(x_0) ) nên ta tìm được tiếp điểm ( (x_0;y_0) ) . Từ đó viết được phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y=frac{2x+1}{x+2}) và song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 )

Cách giải:

Đạo hàm (y’=frac{3}{(x+2)^2})

Gọi tiếp điểm là ( M(x_0;y_0) ). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 ) nên hệ số góc : (y'(x_0)=3)

(Leftrightarrow frac{3}{(x+2)^2} =3 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=-1x=-3 end{array}right.)

Thay vào công thức ta được hai phương trình tiếp tuyến :

[Latex] y=3x+2 [/latex] và ( y=3x+14 )

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

• Bước 1: Gọi ( M(x_0;y_0) là tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến theo [latex] x;x_0) )
• Bước 2: Thay tọa độ điểm đi qua vào phương trình trên, giải phương trình tìm được ( x_0 )
• Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ:

Cho hàm số ( y=-4x^3+3x+1 ). Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số đi qua điểm ( A(-1;2) )

Cách giải:

Ta có : ( y’=-12x^2+3 )

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị tại điểm ( (x_0;y_0) )

Khi đó phương trình tiếp tuyến là :

( y=(-12x_0^2+3)(x-x_0) -4x_0^3+3x_0+1 )

Vì tiếp tuyến đi qua ( A(-1;2) ) nên thay vào ta được:

(2=(-12x_0^2+3)(-1-x_0) -4x_0^3+3x_0+1)

(Leftrightarrow 8x_0^3+12x_0^2-4=0)

(Leftrightarrow 4(x_0+1)^2(2x_0-1)=0)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l}x_0=-1 x_0=frac{1}{2}end{array}right.)

Thay vào ta được hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là ( y=-9x+7 ) và ( y=2 )

Dạng bài phương trình tiếp tuyến chứa tham số

Với các hàm số chứa tham số thì ta thường sử dụng đến hệ số góc ( f’(x_0) )

Ví dụ:

Cho hàm số ( x^4-2(m+1)x^2+m+2 ) và điểm ( A (1;1-m) ) là điểm thuộc đồ thị hàm số. Tìm ( m ) để tiếp tuyến tại ( A ) của hàm số vuông góc với đường thẳng (Delta x-4y+1 =0)

Cách giải:

Ta có đạo hàm : ( y’ = 4x^3-4(m+1)x )

(Rightarrow) hệ số góc của tiếp tuyến là ( y’(1) = -4m )

Ta có ( x-4y+1 =0 Leftrightarrow y=frac{x}{4}+frac{1}{4} )

Vậy để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Delta ) thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng ( -4 )

(Rightarrow -4m=-4) hay ( m=1 )

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.COM.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết cũng như bài tập về chuyên đề các dạng đồ thị hàm số cũng như các dạng toán đồ thị hàm số. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề các dạng đồ thị hàm số. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Đường tiệm cận là gì? Cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tu khoa lien quan:

• các dạng đồ thị hàm số mũ 
• các dạng đồ thị hàm số thi đại học
• các dạng toán khảo sát đồ thị hàm số
• các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số