Phương pháp quy nạp toán học là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy quy nạp toán học là gì? Các dạng toán liên quan đến quy nạp toán học như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về chủ đề phương pháp quy nạp toán học qua bài viết dưới đây nhé!
Nội dung chính bài viết
Lý thuyết về phương pháp quy nạp
Quy nạp toán học là gì?
Quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Thông thường nó được dùng để chứng minh mệnh đề áp dụng cho tập hợp tất cả các số tự nhiên.
Quy nạp toán học là một hình thức chứng minh trực tiếp, thường được thực hiện theo hai bước.
- Bước 1: Khi cố gắng để chứng minh một mệnh đề là đúng cho tập hợp các số tự nhiên, bước đầu tiên, được gọi là bước cơ sở, là chứng minh mệnh đề đưa ra là đúng với số tự nhiên đầu tiên.
- Bước 2: Đây được gọi là bước quy nạp, là chứng minh rằng, nếu mệnh đề được giả định là đúng cho bất kỳ số tự nhiên nào đó, thế thì nó cũng đúng cho số tự nhiên tiếp theo. Sau khi chứng minh hai bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề là đúng cho tất cả các số tự nhiên. Trong thuật ngữ phổ biến, sử dụng phương pháp nói trên được gọi là sử dụng nguyên lý quy nạp toán học.
Nguyên lý quy nạp toán học
Mỗi bài toán là một mệnh đề đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề như vậy lại phụ thuộc vào một biến số tự nhiên n. Một cách tổng quát ta ký hiệu P(n) là mệnh đề toán học phụ thuộc vào n, với n là số tự nhiên. Như vậy, thực chất phương pháp quy nạp toán học là chứng minh dãy mệnh đề sau đúng hoặc sai:
P(1), P(2), P(3),… P(n),…
Phương pháp chứng minh
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi (nin mathbb{N}*) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện như sau:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với (n=kgeq 1) (giả thiết quy nạp)
- Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
Chú ý: Trong trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên (ngeq p) (p là số tự nhiên) thì thuật toán là:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với (n=kgeq 1) (giả thiết quy nạp)
- Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
Một số dạng toán và cách giải
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với (nin mathbb{N}*) thì (1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n^2) (1)
Cách giải:
Kiểm tra khi n = 1 mệnh đề (1) trở thành (1 = 1^2 = 1) (luôn đúng)
Giả sử mệnh đề (1) đúng khi (n = kgeq 1), tức là:
(S_{k} = 1+3+5+ … + (2k-1) = k^2)
Cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
(S_{k+1} = 1+3+5+ … + (2k-1) + 2[2(k+1)-1] = (k+1)^2)
Thật vậy, (S_{k+1} = S_{k} + [2(k+1) – 1] = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2)
Vậy mệnh đề (1) đúng với mọi (nin mathbb{N}*)
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương (ngeq 2) ta có: (frac{2n+1}{3n+2} < frac{1}{2n+2} + frac{1}{2n+3} + frac{1}{2n+4} + …+ frac{1}{4n+2} <frac{3n+2}{4(n+1)})
Cách giải:
Đặt (P = frac{1}{2n+2} + frac{1}{2n+3} + frac{1}{2n+4} + …+ frac{1}{4n+2})
Chứng minh (P > frac{2n+1}{3n+2}). Tổng P có 2n + 1 số hạng, ta ghép thành n cặp cách đều hai đầu, còn lại số hạng đứng giữa là (frac{1}{3n+2}), mỗi cặp có dạng:
(frac{1}{3n+2-k} + frac{1}{3n+2+k} = frac{2(3n+2)}{(3n+2^2 – k^2)} > frac{2(3n+2)}{(3n+2)^2}= frac{2}{3n+2})
((k=1,2,…,n-1,n))
Do đó ta được:
(P>frac{2}{3n+2} + frac{1}{3n+2} = frac{2n+1}{3n+2})
Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta cần bổ đề sau:
(frac{3m-2}{(m+k)(2m-2-k)}<frac{3m-2}{m(2m-2)} Leftrightarrow m(2m-2) < (m+k)(2m-2-k))
(hinh anh 4)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, nên bổ đề được chứng minh.
Viết lại biểu thức P và áp dụng bổ đề ta có:
(2P = (frac{1}{2n+2}+frac{1}{4n+2}) + (frac{1}{2n+3}+frac{1}{4n+1})+…+(frac{1}{4n+2}+frac{1}{2n+2}) < (frac{1}{2n+2}+frac{1}{4n+2})(2n+1))
Hay (P < frac{1}{2} .frac{3n+2}{2(n+1)(2n+1)}.(2n+1) = frac{3n+2}{4(n+1)})
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dạng 3: Bài toán chia hết
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi (nin mathbb{N}*) thì (n^3 – n) chia hết cho 3.
Cách giải:
Đặt (A_{n} = n^3 – n)
Kiểm tra với n = 1, đúng khi(n = kgeq 1), tức là (A_{n} = 0 vdots 3) (đúng)
Giả sử mệnh đề (A_{n}) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh mệnh đề:
(A_{k+1} = (k+1)^3 – (k+1) vdots 3)
Thật vậy : (A_{k+1} = (k+1)^3 – (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k +1 -k -1)
(= (k^3-k) + 3(k^2+k) = A_{k} + 3(k^2 + k) vdots 3)
Vậy (n^3 – n vdots 3, forall , nin mathbb{N}*)
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề phương pháp quy nạp toán học. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về phương pháp quy nạp toán học. Chúc bạn luôn học tốt!
