Chuyên đề dấu của nhị thức bậc nhất là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học lớp 10. Vậy định nghĩa về nhị thức là gì? Thế nào là nhị thức bậc nhất? Cách lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất? Các dạng bài tập xét dấu lớp 10?… Để tìm hiểu chi tiết về chủ đề dấu của nhị thức bậc nhất, cùng tham khảo ngay bài viết dưới đây của DINHNGHIA.COM.VN nhé!.
Nội dung chính bài viết
Định nghĩa nhị thức là gì?
Trong đại số, nhị thức được định nghĩa là một đa thức với hai số hạng – tổng của hai đơn thức. Đây cũng chính là dạng đa thức đơn giản nhất sau đơn thức.
Nhắc lại về nhị thức bậc nhất
- Nhị thức bậc nhất (đối với x) là biểu thức dạng (ax+b), trong đó a và b là hai số cho trước với (a neq0)
- (x_0= frac{-b}{a}) được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất (f(x) =ax+b)
Định lý dấu của nhị thức bậc nhất
Tóm tắt dấu của nhị thức bậc nhất
Trong toán học, nhị thức (f(x) =ax+b(aneq0)) cùng dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng (left (frac{-b}{a};+infty right )) và trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng (left (-infty ;frac{-b}{a} right )). Nội dung định lý được mô tả trong bảng xét dấu của (f(x)=ax+b).
Minh họa bằng đồ thị:
Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất
Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.
Ứng dụng dấu của nhị thức bậc nhất để giải toán
Giải bất phương trình (f(x) > 0) thực chất là xét xem biểu thức (f(x)) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết (f(x)) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức (f(x))
Giải bất phương trình tích
Các dạng toán thường gặp: (P(x)>0,P(x)geq 0,P(x)<0,P(x)leq0) trong đó P(x) là tích các nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x), từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình: ((x-2)(x+1)(3x-4)>0)
Cách giải:
- ((x-2)(x+1)(3x-4)>0hspace{1.5cm}(1))
- Đặt (P(x)=(x-2)(x+1)(3x-4))
- Giải phương trình (P(x)=0) ta được: (x=2;x=-1;x=frac {4}{3})
- Sắp xếp các giá trị tìm được của x theo giá trị tăng: (-1,frac{4}{3},2). Ba số này chia thành bốn khoảng. Ta xác định dấu của (P(x)) trên từng khoảng bằng cách lập bảng xét dấu của (P(x))
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình (1) là:(left ( -1;frac{4}{3} right )cupleft(2;+infty right))
Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các dạng toán thường gặp: (frac{P(x)}{Q(x)} > 0, frac{P(x)}{Q(x)} geq 0, frac{P(x)}{Q(x)} < 0, frac{P(x)}{Q(x)}leq0), trong đó P(x) và Q(x) là tích những nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Lập bảng xét dấu của (frac{P(x)}{Q(x)}), từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình:(frac{4}{x-3} leqfrac{6}{3x+2}hspace{1.5cm} (1))
Cách giải:
Ta có:
((1)Leftrightarrowfrac{4}{x-3}-frac{6}{3x+2}leq0 Leftrightarrow frac{4(3x+2)-6(x-3)}{(x-3)(3x+2)}leq0 Leftrightarrowfrac{6x+26}{(x-3)(3x+2)}leq0)
Ta lập bảng xét dấu của bất phương trình (2):
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình (2) là: (left (-infty;frac{-26}{6} right ]cupleft (frac{-2}{3};3right ))
Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét phương trình hay bất phương trình trong nhiều khoảng (đoạn, nửa đoạn) khác nhau, trên đó mỗi biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có một dấu xác định.
Ví dụ: Giải bất phương trình: (|2x-1| < 3x+5hspace{1.5cm}(3))
Cách giải:
- Với (x < frac{1}{2}), ta có:
((3)Leftrightarrow1-2x<3x+5Leftrightarrow5x>-4Leftrightarrow x>-frac{4}{5})
Kết hợp với điều kiện (x<frac{1}{2}), ta được (-frac{4}{5}<x<frac{1}{2})
- Với (xgeqfrac{1}{2}), ta có:
((3)Leftrightarrow 2x-1<3x+5Leftrightarrow x>-6)
Kết hợp với điều kiện (xgeqfrac{1}{2}), ta được (xgeqfrac{1}{2}).
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình (3) : (left (-frac{4}{5};frac{1}{2} right )cupleft [frac{1}{2};+infty right )=left ( -frac{4}{5};+infty right ))
Các dạng toán về dấu của nhị thức bậc nhất
Lập bảng xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất
Ví dụ 1:
- (x(4-x^2)(x+2))
- (1-frac{4x^2}{(x+1)^2})
- (frac{4x-12}{x^2-4x})
Cách giải:
- Ta có: (x(4-x^2)(x+2)=x(2-x)(x+2)^2)
Bảng xét dấu:
2. Ta có: (1-frac{4x^2}{(x+1)^2}=frac{(x+1)^2-4x^2}{(x+1)^2}= frac{(3x+1)(1-x)}{(x+1)^2})
Bảng xét dấu:
3. Ta có: (frac{4x-12}{x^2-4x}=frac{4x-12}{x(x-4)})
Bảng xét dấu:
Ví dụ 2: Tùy vào (m) xét dấu biểu thức sau (frac{-2x+m}{x-2})
Cách giải:
Ta có: (x-2=0Leftrightarrow x=2 -2x+m=0Leftrightarrow x=frac{m}{2})
Trường hợp 1: (frac{m}{2}>2Leftrightarrow m>4)
Bảng xét dấu:
Suy ra (frac{-2x+m}{x-2}>0Leftrightarrow xinleft ( 2;frac{m}{2} right )) và (frac{-2x+m}{x-2}<0Leftrightarrow xinleft ( -infty;2 right )cupleft ( frac{m}{2};+infty right ))
Trường hợp 2: (frac{m}{2}=2Leftrightarrow m=4)
Ta có (frac{-2x+m}{x-2}=frac{-2x+2}{x-2}=-2)
Suy ra (frac{-2x+m}{x-2}<0Leftrightarrow xinmathbb{R}setminus left { 2 right })
Trường hợp 3: (frac{m}{2}<2Leftrightarrow m<4)
Bảng xét dấu:
Suy ra (frac{-2x+m}{x-2}>0Leftrightarrow xinleft ( frac{m}{2};2 right )) và (frac{-2x+m}{x-2}<0Leftrightarrow xinleft (-infty; frac{m}{2} right )cupleft ( 2;+infty right )).
Tìm hiểu ứng dụng xét dấu của nhị thức bậc nhất
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
- (x(sqrt{3}x-3)(3-x^2)leq0)
- (frac{1}{(x-2)^2}leqfrac{1}{x+4})
- (||2x-1|-4|>3)
- (|x+1|-|x-2|geq3)
- (frac{|x-1|-1}{x^4-x^2})
Cách giải:
- Ta có: (x(sqrt{3}x-3)(3-x^2)leq0Leftrightarrow xsqrt{3}(x-sqrt3)(sqrt3-x)(sqrt3+x)leq0Leftrightarrow -sqrt3x(x-sqrt3)^2(x+sqrt3)leq0)
(Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} x=sqrt3 & x(x+sqrt3)ge0 & end{array} right.)
Bảng xét dấu:
Suy ra (x(x+sqrt3)ge0Leftrightarrow xin left ( -infty;-sqrt3 right ]cup left [0;+infty right )).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: (S=left ( -infty;-sqrt3 right ]cup left [0;+infty right ))
2. Điều kiện xác định: (left{begin{matrix} xne2 & xne -4 & end{matrix}right.)
Ta có:
(frac{1}{(x-2)^2}leqfrac{1}{x+4} Leftrightarrow frac{1}{x+4}-frac{1}{(x-2)^2}ge0 Leftrightarrowfrac{x^2-4x}{(x+4)(x-2)^2}ge0Leftrightarrowfrac{x(x-4)}{(x+4)(x-2)^2}ge0 Leftrightarrowfrac{x(x-4)}{(x+4)}). Do ((x-2)^2) luôn dương nên ta chỉ xét các phần tử còn lại.
Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là: (S=left (-4;0 right ]cupleft [4;+infty right )).
3. Ta có:
(||2x-1|-4|>3Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} |2x-1|-4>3 & |2x-1|-4<-3 & end{array} right. Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} |2x-1|>7 & |2x-1|<1 & end{array} right.Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} 2x-1>7 & 2x-1<-7 & -1<2x-1<1 end{array} right. Leftrightarrowleft[ begin{array}{ll} x>4 & x<-3 & <x<1 end{array} right.)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S=left ( -infty;-3 right )cupleft ( 0;1 right )cupleft ( 4;+infty right ))
4. Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau:
- Với (x<-1) ta có bất phương trình tương đương với (-(x+1)+(x-2)ge3Leftrightarrow-3ge3) (vô nghiệm).
- Với (-1le xle2) ta có bất phương trình tương đương với ((x+1)+(x-2)ge3Leftrightarrow xge2). Kết hợp với điều kiện (-1le xle2) suy ra bất phương trình vô nghiệm.
- Với (xge2) ta có bất phương trình tương đương với ((x+1)-(x-2)ge3Leftrightarrow 3ge3). Kết hợp với điều kiện (xge2) suy ra bất phương trình có nghiệm là (xge2)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (S=left [2;+infty right ))
5. Điều kiện xác định: (x^4-x^2ne0Leftrightarrowleft{begin{matrix} xne0 & xnepm 1 & end{matrix}right.)
Ta có:
(frac{|x-1|-1}{x^4-x^2}ge0Leftrightarrowfrac{(|x-1|+1)(|x-1|-1)}{x^4-x^2}ge0Leftrightarrowfrac{|x-1|^2-1}{x^4-x^2} Leftrightarrowfrac{x^2-2x}{x^4-x^2}ge0Leftrightarrowfrac{x(x-2)}{x^2(x-1)(x+1)}ge0Leftrightarrowfrac{x-2}{x(x-1)(x+1)}ge0)
Bảng xét dấu:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S=left ( -infty;-1 right )cupleft ( 0;1 right )cupleft [2;+infty right )).
Ví dụ 2:
DINHNGHIA.COM.VN đã cùng bạn tìm hiểu về chủ đề dấu của nhị thức bậc nhất. Với những kiến thức trong bài viết, mong rằng đã giúp ích cho bạn trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu về dấu của nhị thức bậc nhất. Chúc bạn luôn học tập tốt!.
Xem chi tiết qua tài liệu cùng bài giảng dưới đây:
(Nguồn: www.youtube.com)
dau-cua-nhi-thuc-bac-nhat-7
Xem thêm:
