Giải Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

You are viewing the article: Giải Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông at Vuidulich.vn

Or you want a quick look: Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 88, 89 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông thuộc chương 1 Hình học 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 4 Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

$b=acdot sin B=acdot cos C;$

$b=ccdot tan B=ccdot cot C;$

$c=acdot sin C=acdot cos B;$

$c=bcdot tan C=bcdot cot B.$

2. Chú ý

Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải tam giác vuông

Phương pháp:

+ Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.

+ Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán.

Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp:

Bằng cách kẻ thêm đường cao (nếu cần) ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp.

Giải bài tập toán 9 trang 88, 89 tập 1

Bài 26 (trang 88 SGK Toán 9 Tập 1)

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34o và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

Gợi ý đáp án

Kí hiệu đỉnh như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

READ Giáo trình điện tử cơ bản về điện trở

AB = AC.tg34^o = 86.tg34^o ≈ 58 (m)

Vậy chiều cao tòa nhà là 58m.

Bài 27 (trang 88 SGK Toán 9 Tập 1)

Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:

a. b=10cm; $widehat{C}=30^{circ}$

b. c=10cm; $widehat{C}=45^{circ}$

c. a=20cm; $widehat{B}=35^{circ}$

d. c=21cm; b=18cm

Gợi ý đáp án

a. b=10cm; $widehat{C}=30^{circ}$

Xét tam giác ABC vuông tại A có AC=10cm, $widehat{C}=30^o$

. Ta cần tính AB, BC và $widehat{B}.$

+) Ta có: $widehat{B} + widehat{C}=90^{circ} Rightarrow widehat{B}=90^o -30^{circ}=60^{circ}.$

+) Lại có

$AB = AC. tan C=10.tan 30^o$

$=dfrac{10sqrt 3}{3} approx 5,77(cm)$

$AC=BC. cos C Rightarrow 10=BC. cos 30^o$

$Rightarrow BC=dfrac{10}{cos 30^o}=dfrac{20sqrt 3}{3} approx 11,55(cm).$

b. c=10cm; $widehat{C}=45^{circ}$

+) Xét tam giác ABC vuông tại A có AB=10, $widehat{C}=45^o$

. Ta cần tính AC, BC và $widehat{B}.$

+) Ta có: $widehat{B}+ widehat{C}=90^{circ} Rightarrow widehat{B}=90^o - widehat{C}=90^o-45^{circ}=45^{circ}.$

Do đó tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên AB=AC=10(cm).

+) Lại có: $AB=BC. sin C Rightarrow 10=BC. sin 45^o$

$Rightarrow BC=dfrac{10}{sin 45^o}=10sqrt 2 approx 14,14(cm).$

c. a=20cm; $widehat{B}=35^{circ}$

+) Xét tam giác ABC vuông tại A có BC=20cm, $widehat{B}=35^o$

. Ta cần tính AB, AC và $widehat{C}.$

+) Ta có: $widehat{C}+ widehat{B}=90^{circ} Rightarrow widehat{C}= 90^o - widehat{B}=90^o - 35^{circ}=55^{circ}.$

+) Lại có: $AB=BCcdot cosB=20cdot cos35^{circ}approx 16,383$

(cm)

$AC= BC cdot sinB=20cdot sin35^{circ}approx 11,472 (cm).$

d. c=21cm; b=18cm

Xét tam giác ABC vuông tại A có: AC=18,AB = 21. Ta cần tính $BC, widehat{B}, widehat{C}.$

Áp dụng định lí Pyta go, ta được: $BC^2=AC^2+AB^2=18^2 +21^2=765$

$Rightarrow BC = sqrt{765}=3sqrt{85} approx 27,66(cm).$

Lại có:

$tan B=dfrac{AC}{AB}=dfrac{18}{21} approx 0,8571 Rightarrow widehat{B}approx 41^{circ}.$

Vì $widehat{C }+widehat{B}=90^o Rightarrow widehat{C}= 90^o - 41^o =49^{circ}.$

Giải bài tập toán 9 trang 89 tập 1: Luyện tập

Bài 28 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1)

Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A có AC=7m, AB = 4m, $widehat{B}=alpha$

. Ta cần tính góc B.

Theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

$tan alpha = tan B =dfrac{AC}{AB}=dfrac{7}{4} =1,75.$

Bấm máy tính ta được: $alpha approx 60^o 15'.$

Bài 29 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1)

Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc α trong hình 32)

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A có AB=250m, BC=320m. Ta cần tính góc B.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$cos alpha =cos B =dfrac{AB}{BC}=dfrac{250}{320}=0,78125.$

$Rightarrow alpha approx 38^{circ}37'.$

Vậy chiếc đò lệch đi một góc gần bằng: $38^{circ}37'.$

Bài 30 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, ∠ABC = 38^o, ∠ACB = 30^o. Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:

a) Đoạn thẳng AN

b) Cạnh AC

Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.

Gợi ý đáp án

Kẻ BK ⊥ AC (K ∈ AC).

Trong tam giác vuông BKC có:

∠KBC = 90^o – 30^o = 60^o

=> ∠KBA = 60^o – 38^o = 22^o

BC = 11 (cm) => BK = 5,5 (cm) ( tính chất cạnh đối diện góc 30° trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền )

Xét tam giác KBA vuông tại K có:

$BK=AB. cos widehat{KBA} Leftrightarrow 5,5=AB.cos 22^o$

$Rightarrow AB=dfrac{5,5}{cos 22^{circ}}approx 5,932$

(cm).

Xét tam giác ABN vuông tại N có:

$AN= AB. sin widehat{ABN} approx 5,932.sin 38^o approx 3,652$

(cm)

b) Xét tam giác ANC vuông tại N có:

$AN=AC. sin C Rightarrow 3,652 = sin 30^o . AC$

$Leftrightarrow AC=dfrac{3,652}{sin 30^o} approx 7,304(cm).$

Bài 31 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1)

Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6 cm, ∠ABC = 90^o, ∠ACB = 54^o và ∠ACD = 74^o.

Hãy tính:

a) AB

b) ∠ADC

Gợi ý đáp án

a) AB = AC.sinC = 8.sin54^o = 6,47 (cm)

b) Trong tam giác ACD, kẻ đường cao AH.

Ta có: AH = AC . sinACH = 8.sin74^o = 7,69 (cm)

Xét tam giác AHD vuông tại H có:

$sin {rm{D}} = dfrac{AH}{AD} approx dfrac{7,69}{9,6} approx 0,801 Rightarrow widehat D approx {53^0}.$

Bài 32 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1)

Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc $70^{circ}$

READ Giải Toán 8 Bài 2: Hình thang

. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét).

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông.

Đổi 5 phút $=dfrac{1}{12}h$

. Biết vận tốc của thuyền là v=2km/h

Suy ra quãng đường thuyền đi trong 5 phút là:

$AB=S=v.t=2.dfrac{1}{12}=dfrac{1}{6}$

(km).

Xét tam giác HAB vuông tại H, $AB=dfrac{1}{6}km, widehat{A}=70^o,$

ta có:

$BH=AB. sin A = dfrac{1}{6}. sin 70^o approx 0,1566(km)=156,6m$

Vậy chiều rộng khúc sông xấp xỉ 156,6(m).

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

$b=acdot sin B=acdot cos C;$

$b=ccdot tan B=ccdot cot C;$

$c=acdot sin C=acdot cos B;$

$c=bcdot tan C=bcdot cot B.$

2. Chú ý

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải tam giác vuông

Phương pháp:

+ Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.

+ Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán.

Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp:

Bằng cách kẻ thêm đường cao (nếu cần) ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp.