Home
7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Hệ quả

7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Hệ quả

9 Tháng mười, 2021 TIN TỨC Không có bình luận

Or you want a quick look: I. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức rất quan trọng mà người học toán thường xuyên sử dụng, trong suốt quá trình học phổ thông lẫn đại học.

Nhằm giúp các em vận dụng công thức vào làm bài tập hiệu quả hơn Mobitool giới thiệu đến các em tài liệu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả được chúng tôi tổng hợp chi tiết, chính xác và đăng tải ngay sau đây. Trong suốt chương trình toán phổ thông và đại học, người học toán thường xuyên sử dụng 7 hằng đẳng thức sau, gọi là những hằng đẳng thức đáng nhớ (học sinh được học trong chương trình Toán lớp 8 ở THCS).

I. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Diễn giải: Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Bình phương của một hiệu

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Diễn giải: Bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu của hai bình phương

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Diễn giải: Hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

Lập phương của một tổng

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Diễn giải: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Diễn giải: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Diễn giải: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

Hiệu của hai lập phương

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Diễn giải: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

READ  Lời bài hát Người ơi người ở đừng về, beat, remix, karaoke

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a+b)^2=(a-b)^2+4ab

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc

(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2

a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

Hệ quả tổng quát

a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-a^{n-4}b^3+ldots+a^2b^{n-3}-acdot b^{n-2}+b^{n-1})

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Chúc các em ôn tập và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

III.  Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

  • Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.
  • Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.
  • Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.
  • Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
  • Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
  • Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
  • Dạng 7: Tìm giá trị của x

IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hay a,b là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể thì điều kiện của a, b cần có để thực hiện làm bài tập dưới đây:

  • Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là sự biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần phải thành thạo thì việc áp dụng các hằng đẳng thức mới có thể rõ ràng và chính xác được.
  • Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức thì khi áp dụng vào các bài toán, bạn có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức liên quan đến việc chứng minh bài toán.
  • Khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, do tính chất mỗi bài toán bạn cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại sao cho phù hợp trong việc tính toán.

V. Bài tập về hằng đẳng thức

Bài 1: Tính

a) (x + 2y)2;

b) (x – 3y)(x + 3y);

c) (5 – x)2.

d) (x – 1)2;

e) (3 – y)2

f) (x – )2.

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng

a) x2+ 6x + 9;

b) x2+ x + ;

c) 2xy2 + x2y4 + 1.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) (x + y)2+ (x – y)2;

b) 2(x – y)(x + y) +(x – y)2+ (x + y)2;

Bài 4: Tìm x biết

a) (2x + 1)2– 4(x + 2)2= 9;

b) (x + 3)2 – (x – 4)( x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)2+ (2x – 1)2– 7(x + 3)(x – 3) = 36;

Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau

a) 192; 282; 812; 912;

b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;

c) 292– 82; 562– 462; 672 – 562;

Bài 6: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x

a) 9x2– 6x +2;

b) x2 + x + 1;

c) 2x2 + 2x + 1.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = x2– 3x + 5;

b) B = (2x -1)2+ (x + 2)2;

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a) A = 4 – x2 + 2x;

b) B = 4x – x2;

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức

A. x3+ 12x2+ 48x + 64 tại x = 6

B = x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

C= x3+ 9x2+ 27x + 27 tại x= – 103

D = x3 – 15x2 + 75x – 125 tại x = 25

Bài 10.Tìm x biết:

a) (x – 3)(x2+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 1;

b) (x + 1)3– (x – 1)3 – 6(x – 1)2 = -10

Bài 11: Rút gọn

a. (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

b. (x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x +4)

d. (x + y)3 – (x – y)3 – 2y3

e. (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)

READ  Top 11 Địa chỉ mua iPhone chính hãng, likenew uy tín nhất Đà Nẵng

e. (2x + y)(4x2– 2xy +y2) – (2x – y)(4x2+ 2xy + y2)

Bài 12: Chứng minh

a. a3+ b3 = (a + b)3– 3ab(a + b)

b. a3 – b3 = (a – b)3 – 3ab(a – b)

Bài 13: a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 + 3xy

Cho x – y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3– y3– 3xy

Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 3)(4x2– 6x + 9) – 2(4x3– 1)

B = (x + y)(x2– xy + y2) + (x – y)(x2+ xy + y2) – 2x3.

Bài 15. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P với

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);

Hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức rất quan trọng mà người học toán thường xuyên sử dụng, trong suốt quá trình học phổ thông lẫn đại học.

Nhằm giúp các em vận dụng công thức vào làm bài tập hiệu quả hơn Mobitool giới thiệu đến các em tài liệu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả được chúng tôi tổng hợp chi tiết, chính xác và đăng tải ngay sau đây. Trong suốt chương trình toán phổ thông và đại học, người học toán thường xuyên sử dụng 7 hằng đẳng thức sau, gọi là những hằng đẳng thức đáng nhớ (học sinh được học trong chương trình Toán lớp 8 ở THCS).

I. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Diễn giải: Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Bình phương của một hiệu

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Diễn giải: Bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu của hai bình phương

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Diễn giải: Hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

Lập phương của một tổng

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Diễn giải: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Diễn giải: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Diễn giải: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

Hiệu của hai lập phương

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Diễn giải: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a+b)^2=(a-b)^2+4ab

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc

(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2

a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

Hệ quả tổng quát

a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-a^{n-4}b^3+ldots+a^2b^{n-3}-acdot b^{n-2}+b^{n-1})

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Chúc các em ôn tập và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

III.  Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

  • Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.
  • Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.
  • Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.
  • Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
  • Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
  • Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
  • Dạng 7: Tìm giá trị của x
READ  Toán 6 Bài 25: Phép cộng và phép trừ phân số Kết nối tri thức với cuộc sống

IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hay a,b là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể thì điều kiện của a, b cần có để thực hiện làm bài tập dưới đây:

  • Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là sự biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần phải thành thạo thì việc áp dụng các hằng đẳng thức mới có thể rõ ràng và chính xác được.
  • Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức thì khi áp dụng vào các bài toán, bạn có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức liên quan đến việc chứng minh bài toán.
  • Khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, do tính chất mỗi bài toán bạn cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại sao cho phù hợp trong việc tính toán.

V. Bài tập về hằng đẳng thức

Bài 1: Tính

a) (x + 2y)2;

b) (x – 3y)(x + 3y);

c) (5 – x)2.

d) (x – 1)2;

e) (3 – y)2

f) (x – )2.

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng

a) x2+ 6x + 9;

b) x2+ x + ;

c) 2xy2 + x2y4 + 1.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) (x + y)2+ (x – y)2;

b) 2(x – y)(x + y) +(x – y)2+ (x + y)2;

Bài 4: Tìm x biết

a) (2x + 1)2– 4(x + 2)2= 9;

b) (x + 3)2 – (x – 4)( x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)2+ (2x – 1)2– 7(x + 3)(x – 3) = 36;

Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau

a) 192; 282; 812; 912;

b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;

c) 292– 82; 562– 462; 672 – 562;

Bài 6: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x

a) 9x2– 6x +2;

b) x2 + x + 1;

c) 2x2 + 2x + 1.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = x2– 3x + 5;

b) B = (2x -1)2+ (x + 2)2;

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a) A = 4 – x2 + 2x;

b) B = 4x – x2;

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức

A. x3+ 12x2+ 48x + 64 tại x = 6

B = x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

C= x3+ 9x2+ 27x + 27 tại x= – 103

D = x3 – 15x2 + 75x – 125 tại x = 25

Bài 10.Tìm x biết:

a) (x – 3)(x2+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 1;

b) (x + 1)3– (x – 1)3 – 6(x – 1)2 = -10

Bài 11: Rút gọn

a. (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

b. (x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x +4)

d. (x + y)3 – (x – y)3 – 2y3

e. (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)

e. (2x + y)(4x2– 2xy +y2) – (2x – y)(4x2+ 2xy + y2)

Bài 12: Chứng minh

a. a3+ b3 = (a + b)3– 3ab(a + b)

b. a3 – b3 = (a – b)3 – 3ab(a – b)

Bài 13: a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 + 3xy

Cho x – y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3– y3– 3xy

Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 3)(4x2– 6x + 9) – 2(4x3– 1)

B = (x + y)(x2– xy + y2) + (x – y)(x2+ xy + y2) – 2x3.

Bài 15. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P với

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);

See more articles in the category: TIN TỨC

About The Author

admin

Leave a Reply