3 điểm thẳng hàng là gì? Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng toán về chứng minh 3 điểm thẳng hàng như nào? Cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây nhé!
Nội dung chính bài viết
Lý thuyết 3 điểm thẳng hàng
Tổng quát 3 điểm thẳng hàng
- Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta nói ba điểm thẳng hàng.
- Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
Với 3 điểm thẳng hàng A,B,C ta có thể nói:
- Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
- Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm C, hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A.
- Hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm B
Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Sử dụng tính chất góc bẹt
- Chứng minh (widehat{ABC} = 180^{circ})
(Rightarrow A,B,C) thẳng hàng
Sử dụng tiên đề Ơclit
- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ ba điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh:
(AMparallel xy) và (BMparallel xy Rightarrow A,M,B) thẳng hàng
Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc
- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo từ 3 điểm đã cho cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh : (left{begin{matrix} AHperp xy BHperp xy end{matrix}right. Rightarrow A,H,B) thẳng hàng
Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt
- Chứng minh: Tia OA và OB cùng là tia phân giác của góc (widehat{xOy})
(Rightarrow O,A,B) thẳng hàng
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
- Chứng minh H,I,K cùng thuộc đường trung trực của AB
(Rightarrow H,I,K) thẳng hàng
Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác
+ I là trọng tâm của (Delta ABC)
+ AD là trung tuyến của (Delta ABC)
(Rightarrow A,I,D) thẳng hàng
Sử dụng phương pháp vecto
- Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thỏa mãn đẳng thức (underset{AB}{rightarrow} = kunderset{AC}{rightarrow}) với (kneq 0)
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.
Cách giải:
Xét (Delta ABD) và (Delta MCD), ta có:
(widehat{B} = widehat{C})
AB = CM (gt)
BD = DC (D là trung điểm cuả BC)
(Delta ABD = Delta MCD) (2 cạnh góc vuông)
(Rightarrow widehat{D_{1}} = widehat{D_{3}})
Mặt khác, (widehat{D_{1}} + widehat{D_{2}} = 180^{circ}) (B,C,D thẳng hàng)
(Rightarrow widehat{D_{2}} + widehat{D_{3}} = 180^{circ})
hay (widehat{ADM} = 180^{circ})
(Rightarrow) A,D,M thẳng hàng (góc bẹt)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M,N thỏa mãn các hệ thức (underset{MB}{rightarrow} – 2underset{MC}{rightarrow} = underset{0}{rightarrow}) và (underset{NA}{rightarrow} + 2underset{NC}{rightarrow} = underset{0}{rightarrow}). Chứng minh rằng 3 điểm M,N,P thẳng hàng.
Cách giải:
Xét:
(underset{MN}{rightarrow} = underset{MC}{rightarrow} + underset{NC}{rightarrow} = underset{CB}{rightarrow} + frac{1}{3}underset{CA}{rightarrow} Rightarrow 3underset{MN}{rightarrow} = 3underset{CB}{rightarrow} + underset{CA}{rightarrow}) (1)
Xét:
(underset{MP}{rightarrow} = underset{MB}{rightarrow} + underset{BP}{rightarrow} = 2underset{CB}{rightarrow} + frac{1}{2}underset{BA}{rightarrow})
(= 2underset{CB}{rightarrow} + frac{1}{2}(underset{CA}{rightarrow} – underset{CB}{rightarrow}) = 2underset{CB}{rightarrow} + frac{1}{2}underset{underset{CA}{rightarrow}}{rightarrow} – frac{1}{2}underset{CB}{rightarrow} = frac{3}{2}underset{CB}{rightarrow} + frac{1}{2}underset{CA}{rightarrow})
(Rightarrow 2underset{MP}{rightarrow} = 3underset{CB}{rightarrow} + underset{CA}{rightarrow}) (2)
Từ (1) và (2) ta có: (3underset{MN}{rightarrow} = 2underset{MP}{rightarrow} Leftrightarrow underset{MN}{rightarrow} = frac{2}{3}underset{MP}{rightarrow})
Từ đây ta có (underset{MN}{rightarrow}) cùng phương với (underset{MP}{rightarrow})
Do đó 3 điểm M,N,P thẳng hàng (đpcm)
Trên đây là nội dung về chuyên đề chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nhìn chung đây là phần kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững. Từ nội dung này các em có thể mở rộng để làm các bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho các em những thông tin hữu ích về 3 điểm thẳng hàng. Chúc các em luôn học tốt!
Tu khoa
chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 10
điều kiện 3 điểm thẳng hàng trong oxyz
chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian oxyz
